L’équation de Schrödinger
L’étude de particules microscopiques telles que les électrons a montré que celles-ci
présentent un comportement différent de ce qui est observé à l’échelle macroscopique :
dans l’atome d’hydrogène par exemple, l’énergie de l’électron ne peut prendre que des
valeurs discrètes. On dit alors qu’elle est quantifiée. Ce résultat ne peut pas s’expliquer
à l’aide de la mécanique classique ; une nouvelle mécanique a alors été élaborée afin
de rationnaliser ces observations. Il s’agit de la mécanique quantique dont l’équation
fondamentale est l’équation de Schrôdinger, du nom du physicien qui l’a établie.
Les traitements mathématiques associés à la résolution de cette équation sont souvent
assez complexes et seront présentés de façon très succincte dans la suite de cet ouvrage.
■a
O
c
û
«JD t H
O
CM
(y)
x:
ai
>Q .
O
U
Fiche 4
1. La fonction d’onde
Une étape fondatrice est effectuée par Louis de Broglie en 1924 afin de décrire les propriétés expérimentales des électrons : à tout électron possédant une quantité de mouvement P = m v, il associe une longueur d ’onde X telle que X = h/p (h constante de Planck).
A partir de ce postulat de base, les particules sont dès lors considérées comme possédant une double nature : corpusculaire (via la masse m) et ondulatoire (via la longueur
d’onde X).
Selon un deuxième postulat, l’état physique d’une particule ou d’un ensemble de particules est entièrement décrit par une fonction d’onde 'P(x,y, z). Cette fonction doit posséder des dérivées première et seconde continues en tout point par rapport à l’ensemble
des variables.
■I La signification physique d’une fonction d’onde
La fonction W n’est pas directement observable et seul son carré a une signification
physique. En effet, le produit
dv représente la densité de probabilité de trouver la
particule considérée dans le volume dv. La fonction 4^ est dite « normalisée » si l’inté?
;rale suivante, étendue à toutes les variables, sur un volume infini est égale à l’unité :
4^^ dv= 1. Cela signifie que la probabilité de trouver la particule, calculée sur tout
’espace, est égale à 1 ce qui revient à la certitude.
M La dimension d’une fonction d’onde
4^Mv étant une probabilité, c’est une grandeur sans dimension. En conséquence, J 4^^ dv
ayant la dimension d’un nombre et dv celle d ’un volume (L^), il s’ensuit que 'F a pour
dimension L"^''^ (ou 2. Les principes de correspondance
entre mécanique classique et quantique
À toute quantité de la mécanique classique est associé un opérateur quantique obtenu en
effectuant les substitutions suivantes :
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L’étude de particules microscopiques telles que les électrons a montré que celles-ci
présentent un comportement différent de ce qui est observé à l’échelle macroscopique :
dans l’atome d’hydrogène par exemple, l’énergie de l’électron ne peut prendre que des
valeurs discrètes. On dit alors qu’elle est quantifiée. Ce résultat ne peut pas s’expliquer
à l’aide de la mécanique classique ; une nouvelle mécanique a alors été élaborée afin
de rationnaliser ces observations. Il s’agit de la mécanique quantique dont l’équation
fondamentale est l’équation de Schrôdinger, du nom du physicien qui l’a établie.
Les traitements mathématiques associés à la résolution de cette équation sont souvent
assez complexes et seront présentés de façon très succincte dans la suite de cet ouvrage.
■a
O
c
û
«JD t H
O
CM
(y)
x:
ai
>Q .
O
U
Fiche 4
1. La fonction d’onde
Une étape fondatrice est effectuée par Louis de Broglie en 1924 afin de décrire les propriétés expérimentales des électrons : à tout électron possédant une quantité de mouvement P = m v, il associe une longueur d ’onde X telle que X = h/p (h constante de Planck).
A partir de ce postulat de base, les particules sont dès lors considérées comme possédant une double nature : corpusculaire (via la masse m) et ondulatoire (via la longueur
d’onde X).
Selon un deuxième postulat, l’état physique d’une particule ou d’un ensemble de particules est entièrement décrit par une fonction d’onde 'P(x,y, z). Cette fonction doit posséder des dérivées première et seconde continues en tout point par rapport à l’ensemble
des variables.
■I La signification physique d’une fonction d’onde
La fonction W n’est pas directement observable et seul son carré a une signification
physique. En effet, le produit
dv représente la densité de probabilité de trouver la
particule considérée dans le volume dv. La fonction 4^ est dite « normalisée » si l’inté?
;rale suivante, étendue à toutes les variables, sur un volume infini est égale à l’unité :
4^^ dv= 1. Cela signifie que la probabilité de trouver la particule, calculée sur tout
’espace, est égale à 1 ce qui revient à la certitude.
M La dimension d’une fonction d’onde
4^Mv étant une probabilité, c’est une grandeur sans dimension. En conséquence, J 4^^ dv
ayant la dimension d’un nombre et dv celle d ’un volume (L^), il s’ensuit que 'F a pour
dimension L"^''^ (ou 2. Les principes de correspondance
entre mécanique classique et quantique
À toute quantité de la mécanique classique est associé un opérateur quantique obtenu en
effectuant les substitutions suivantes :
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