Comme la constante 1 n’a pas de dimension, on en déduit :
] = — , d’où
4^^ est bien homogène à l’inverse d’une racine carrée de longueur.
L
d) Dans le cas général à trois dimensions, la condition de normalisation devient ; J'^],dx = 1 , où
0
dv est l’élément de volume infinitésimal. L’équation aux dimensions devient :
= [1]
d’où: ['('?,] = -¿T soit: [>('„] = ^
2.22 La densité de probabilité radiale P(r) s’écrit : P ( r ) = /? : (r)x r
Le maximum de probabilité radiale est obtenu lorsque la dérivée de P(r) par apport à r est nulle,
soit, dans le cas de l’orbitale Is de l’atome d’hydrogène :
— A^-£>
xr" = 0, soit ; N~ - - ^ + 2r
=0 .
d r
[
J
Le maximum est obtenu pour r = (le point r = 0 correspond à un minimum). Ce résultat avait
déjà été obtenu dans le cas de l’atome de Bohr (voir la fiche 19).
■ a
O
c
U
Q
Ю
t H
O
Г М
(5)
-C -a
en 2
• —
Q .
>C L
O
U
2.23 Pour ГОА 2p^, la densité radiale est égale à : P ( r ) = N'~ — é''“ “ x r = N'~ — é
a'
a
г''Ч
On en déduit . dP{r) _
'
dr
И à
4 ^ 3 -------------‘o /
Cette quantité s’annule pour r =
(et r = 0 qui est un minimum).
On trouvera le même maximum pour 2p et 2p puisque ces OA ont la même partie radiale que
2p.2.24 La partie radiale d’une OA de Slater est donnée par (voir la fiche 26) : R (r)= A/'“'
On en déduit : P{r) =
x r ' =
^-2 z*rina.
., , dP{r)
,
d ou — ^ = N'
dr
2nr^”-' -
2Z * r^" ^
nci
-2Z*rhu\n
0 7
Outre la valeur r = 0 qui représente un minimum, cette quantité s’annule pour p = rraJZ^^
2.25 II y a sept OA 5f dont les nombres quantiques sont :
« = 5 ; / = 3 ; m = ±3 ; ±2 ; ± 1 ; 0.
2.26 a) Afin d’équilibrer la réaction de désintégration, on doit former cinq neutrons ;
- A m + “ N e ^ “ Db-h5>.
Il s’agit de 'y^Xc’est-à-dire d’un isotope de l’azote.
b) Pour l’isotope Db : Am + Ne -> Db + 4 ÿn
Pour obtenir le même nombre de neutrons par la seconde voie, on doit utiliser l’isotope"^"Cf :
+ ,N ^ ,^,jDb + 4^,n
c) On obtient :
+ ";o ^ 4 > + ; > b et
+ '^O S^n + ;“ Db
2.27 a) On peut écrire, de façon simplifiée : ‘^F (9n + 9p) — > '®^0 (lOn + 8 p) + |3"^. Un proton
se transforme en neutron et pour respecter la conservation de la charge, un positon est émis de
façon que l’oxygène formé ne soit entouré que de 8 électrons.
469
] = — , d’où
4^^ est bien homogène à l’inverse d’une racine carrée de longueur.
L
d) Dans le cas général à trois dimensions, la condition de normalisation devient ; J'^],dx = 1 , où
0
dv est l’élément de volume infinitésimal. L’équation aux dimensions devient :
= [1]
d’où: ['('?,] = -¿T soit: [>('„] = ^
2.22 La densité de probabilité radiale P(r) s’écrit : P ( r ) = /? : (r)x r
Le maximum de probabilité radiale est obtenu lorsque la dérivée de P(r) par apport à r est nulle,
soit, dans le cas de l’orbitale Is de l’atome d’hydrogène :
— A^-£>
xr" = 0, soit ; N~ - - ^ + 2r
=0 .
d r
[
J
Le maximum est obtenu pour r = (le point r = 0 correspond à un minimum). Ce résultat avait
déjà été obtenu dans le cas de l’atome de Bohr (voir la fiche 19).
■ a
O
c
U
Q
Ю
t H
O
Г М
(5)
-C -a
en 2
• —
Q .
>C L
O
U
2.23 Pour ГОА 2p^, la densité radiale est égale à : P ( r ) = N'~ — é''“ “ x r = N'~ — é
a'
a
г''Ч
On en déduit . dP{r) _
'
dr
И à
4 ^ 3 -------------‘o /
Cette quantité s’annule pour r =
(et r = 0 qui est un minimum).
On trouvera le même maximum pour 2p et 2p puisque ces OA ont la même partie radiale que
2p.2.24 La partie radiale d’une OA de Slater est donnée par (voir la fiche 26) : R (r)= A/'“'
On en déduit : P{r) =
x r ' =
^-2 z*rina.
., , dP{r)
,
d ou — ^ = N'
dr
2nr^”-' -
2Z * r^" ^
nci
-2Z*rhu\n
0 7
Outre la valeur r = 0 qui représente un minimum, cette quantité s’annule pour p = rraJZ^^
2.25 II y a sept OA 5f dont les nombres quantiques sont :
« = 5 ; / = 3 ; m = ±3 ; ±2 ; ± 1 ; 0.
2.26 a) Afin d’équilibrer la réaction de désintégration, on doit former cinq neutrons ;
- A m + “ N e ^ “ Db-h5>.
Il s’agit de 'y^Xc’est-à-dire d’un isotope de l’azote.
b) Pour l’isotope Db : Am + Ne -> Db + 4 ÿn
Pour obtenir le même nombre de neutrons par la seconde voie, on doit utiliser l’isotope"^"Cf :
+ ,N ^ ,^,jDb + 4^,n
c) On obtient :
+ ";o ^ 4 > + ; > b et
+ '^O S^n + ;“ Db
2.27 a) On peut écrire, de façon simplifiée : ‘^F (9n + 9p) — > '®^0 (lOn + 8 p) + |3"^. Un proton
se transforme en neutron et pour respecter la conservation de la charge, un positon est émis de
façon que l’oxygène formé ne soit entouré que de 8 électrons.
469