2. Généralisation
Si Гоп s’intéresse à une interface autre que sphérique, la surface est caractérisée par
deux rayons de courbure, R et R ’ : en tout point de la surface on construit deux plans
orthogonaux qui se coupent selon la normale. L’intersection des plans avec la surface
définit deux courbes caractérisées par deux rayons de courbure R et R ’ (grandeurs
algébriques, positives si la surface est convexe et négatives si elle est concave). La loi de
Laplace se généralise selon :
P^-P^ = y{\/R+ 1//?’)
Afin d ’illustrer cette généralisation, on peut envisager quelques cas particuliers :
• Interface plane. Les deux rayons de courbure sont alors infinis : /? = R’ = oo. On en
déduit que P^-P^ = 0. On retrouve ici que, pour la surface plane d ’un liquide à l’équilibre, la pression est la même de part et d ’autre de la surface.
• Interface cylindrique. Un rayon de courbure est infini et l’autre égal au rayon du
cylindre. On a ainsi : P = y/R.
• Interface sphérique. En tout point les deux rayons sont égaux {R = R'). On en déduit
P^-P^ = 2ylR, qui est la loi de Laplace démontrée précédemment.
• Interface de courbure nulle. Si on tend un film de savon entre deux anneaux que l’on
écarte, on engendre une surface de courbure nulle car P^=P^ = P^ (pression extérieure).
■a
O
c
3
û
Ю
O
rs]
(y)
ai
>•
C L
O
U
3. L’adhésion capillaire
Considérons une goutte d’eau écrasée entre deux plaques distantes de h, en situation
de mouillage totale, 0 = 0. Celle-ci prend approximativement la forme d ’un disque de
rayon R, et le rayon du ménisque est celui d’un demi-cercle, R ’ = h/2.
R
i )/ / / / / / / / / / / C
R'
La différence de pression AP entre l’eau et l’air est donnée par :
AP = y (\/R - 1/R’)
Ici, /?’ est le rayon du ménisque. Le signe négatif correspond à la courbure négative de
l’interface concave. Si l’on suppose que R est très grand devant R \ on obtient ;
AP = - y { \/R ’) = -2y/h
La force qui s’exerce sur les plaques est attractive. Elle est proportionnelle à la surface
de la goutte et à la dépression AP. En module on a :
F = AAP = 2nR^y/h
Dans le cas de l’eau (y = 72 mJ • m~^), et pour une distance de 5 pm, une goutte d’un rayon
de 1 cm crée une force égale à :
F = 27t X 10-^x 72 X 10-V5 x 1Q-" = 9 N
Deux plaques « collées » par une simple goutte d’eau peuvent supporter une traction
correspondant à une masse de près d’un kilogramme.
O
Fiche 182
429
Si Гоп s’intéresse à une interface autre que sphérique, la surface est caractérisée par
deux rayons de courbure, R et R ’ : en tout point de la surface on construit deux plans
orthogonaux qui se coupent selon la normale. L’intersection des plans avec la surface
définit deux courbes caractérisées par deux rayons de courbure R et R ’ (grandeurs
algébriques, positives si la surface est convexe et négatives si elle est concave). La loi de
Laplace se généralise selon :
P^-P^ = y{\/R+ 1//?’)
Afin d ’illustrer cette généralisation, on peut envisager quelques cas particuliers :
• Interface plane. Les deux rayons de courbure sont alors infinis : /? = R’ = oo. On en
déduit que P^-P^ = 0. On retrouve ici que, pour la surface plane d ’un liquide à l’équilibre, la pression est la même de part et d ’autre de la surface.
• Interface cylindrique. Un rayon de courbure est infini et l’autre égal au rayon du
cylindre. On a ainsi : P = y/R.
• Interface sphérique. En tout point les deux rayons sont égaux {R = R'). On en déduit
P^-P^ = 2ylR, qui est la loi de Laplace démontrée précédemment.
• Interface de courbure nulle. Si on tend un film de savon entre deux anneaux que l’on
écarte, on engendre une surface de courbure nulle car P^=P^ = P^ (pression extérieure).
■a
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(y)
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>•
C L
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3. L’adhésion capillaire
Considérons une goutte d’eau écrasée entre deux plaques distantes de h, en situation
de mouillage totale, 0 = 0. Celle-ci prend approximativement la forme d ’un disque de
rayon R, et le rayon du ménisque est celui d’un demi-cercle, R ’ = h/2.
R
i )/ / / / / / / / / / / C
R'
La différence de pression AP entre l’eau et l’air est donnée par :
AP = y (\/R - 1/R’)
Ici, /?’ est le rayon du ménisque. Le signe négatif correspond à la courbure négative de
l’interface concave. Si l’on suppose que R est très grand devant R \ on obtient ;
AP = - y { \/R ’) = -2y/h
La force qui s’exerce sur les plaques est attractive. Elle est proportionnelle à la surface
de la goutte et à la dépression AP. En module on a :
F = AAP = 2nR^y/h
Dans le cas de l’eau (y = 72 mJ • m~^), et pour une distance de 5 pm, une goutte d’un rayon
de 1 cm crée une force égale à :
F = 27t X 10-^x 72 X 10-V5 x 1Q-" = 9 N
Deux plaques « collées » par une simple goutte d’eau peuvent supporter une traction
correspondant à une masse de près d’un kilogramme.
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