La capillarité, form ule de Laplace
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Cette fiche est consacrée aux premiers traitements mathématiques des phénomènes
d’interface : ceux-ci datent du début du XIX®siècle et ont conduit à la formulation de la
loi de Laplace.
1. La goutte sphérique
Considérons une goutte de liquide sphérique de rayon R immergée au sein d’un autre
liquide ou d’un gaz ; cette situation se rencontre par exemple dans le brouillard où des
gouttelettes d ’eau sont en suspension dans l’air. La pression
à l’intérieur de la goutte
est différente de celle
régnant dans le fluide hôte.
Si l’on calcule le travail bW nécessaire à l’accroissement dR du rayon de la goutte,
celui-ci a trois origines : le travail des forces de pression et celui de la tension superficielle. On a ainsi :
bW = -P^dV^-P^dV^ + ydA
Les deux variations de volume dV| et dV^ sont évidemment opposées et se calculent
simplement à partir de la formule du volume d’une sphère :
V, = 4/3ti/?3 d’où : dV, = 4kR4R
De même, la variation de surface cL4 se calcule à partir de la formule de la surface
d’une sphère ;
Л = 4nR^ d ’où : dA = 8rt/?d/?
Si la goutte est à l’équilibre thermodynamique, le travail ÔW doit être nul. On a ainsi ;
- P, 471PMP -b P^4nR4R + y^KRdR = 0
Soit :
P - P. = 2y/R (Loi de Laplace)
C ’est la loi de Laplace, énoncée en 1805. Une application immédiate de cette loi est
que plus une bulle est petite plus la pression à l’intérieur est élevée. En conséquence,
une petite bulle se « dégonflera » dans une bulle plus grande. C ’est pourquoi dans une
émulsion d ’huile dans l’eau les petites gouttes disparaissent au profit des grandes.
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