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Prenons le cas d’une grandeur g qui varie avec x et >’ et dont la variation Ôg s’exprime selon ;
= A{x,y) dx + B{x,y) dy
Si les deux fonctions A et B vérifient la relation :
dy
dx
alors, g est une fonction de x et _y. Dans ce cas, l’accroissement dg est une différentielle
totale exacte et peut être noté dg. Cette propriété est largement utilisée en thermodynamique afin de déterminer les fonctions d’état d’un système.
P
Chapitre 5
3. Gradient et laplacien
Ces deux opérateurs sont généralement utilisés dans le cas de fonctions définies dans
l’espace euclidien, c’est-à-dire à trois dimensions, x, y et z.
L’opérateur gradient associe à une fonction/un vecteur dont les composantes selon x,
y et Z sont les dérivées partielles d e /p a r rapport à x, y et z. On le note g ra d /.
g rad /’ = <
d f / 3x
df / dy
df / dz
L’opérateur laplacien transforme une fonction/(x,y,z) en une autre fonction notée A /
par la relation suivante :
Il est alors ici pratique d’introduire l’opérateur nabla, noté V, qui transforme la fonctio n /e n son gradient :
Il s’agit d ’un opérateur vectoriel et on a :
Af= (V .V )/= V y
Les opérateurs nabla et laplacien permettent de simplifier grandement les écritures et
sont largement utilisés en physique et en chimie dans des domaines tels que la thermodynamique, la physique quantique ou l’électromagnétisme.
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