Les dérivées partielles
Dans ce qui suit, nous nous intéressons à une fo n ctio n /d e plusieurs variables. Afin de
simplifier, les principaux résultats seront donnés au départ dans le cas d’une fonction
de deux variables, x et y. Les résultats se généralisent aisément au cas général d’une
fonction de n variables.
1. Définition
Lorsque l’on dérive la fonctiony(x,y) par rapport à .v en conservant y constant, on obtient
la dérivée partielle d e /p a r rapport à x que l’on note ^ .
Эх
Si Гоп considère la fonction/(x,j) = x^>’ + x>’, on obtient :
Э/
de même ;
Эх
dv
- 2xy + y
= X - + X
Une propriété importante concerne les dérivées secondes : si les dérivées premières sont
continues, alors les deux dérivées secondes obtenues en changeant l’ordre de dérivation
sont égales (théorème de Schwarz) :
d \ f _ d \ f
dxdy
dydx
Cette propriété se vérifie aisément sur l’exemple précédent :
= — (x“ + x) = 2x + 1
oxoy
ox
a v
Э
—^
= — (2xy + 3;) = 2x + 1
oyox
oy
T J
O
C
= 3
Q
Ю
t H
O
fNJ
(S)
X I
OJ
>Q .
O
U
2. Différentielle totale exacte
L’accroissement d /d e la fo n ctio n /d û à un accroissement infinitésimal des variables x
et 3^ est donné par la relation :
Si l’on prend l’exemple d’un cylindre caractérisé par son rayon r et sa hauteur h, son volume
V s’exprime selon : V = nrh
L’accroissement du volume lors d’une variation simultanée de r et /г est donc donné par la
relation :
dV
dV
dV = -r—dr + — — d/2 = Inrhdr + nrdh
ar
àh
14