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2. Les primitives
C ’est la transformation réciproque de la dérivée : la primitive d e / ’(x) est la fo n ctio n /
elle-même. On notera |/(v )d Y la primitive de/(jc). Cependant, puisque la dérivée d ’une
fonction constante est nulle, une primitive est toujours définie à une constante (C) près.
D ’après les résultats établis pour la dérivation des fonctions, il est assez simple de trouver les primitives des fonctions les plus fréquemment rencontrées :
fx ‘'d ï= x'‘" '> /( a + l) + C
|( l / x ) d v = ln(x) + C
f ( e - " ) d x = - e ‘“ / o + C
Jsin (ox)dx= — 1 / a c o s (a x )+ C
J cos(ax)dx = \ / i3sin(aY)-l-C
si a est différent de -1
si a est différent de 0
si a est différent de 0
si a est différent de 0
3. Les intégrales
Une intégrale se calcule entre deux valeurs de jc, a et b,
que l’on appelle les bornes. L’intégrale de la fonction
/e n tre ces bornes est l’aire de la surface limitée par la
fonction / l’axe des abscisses et les deux verticales en a
et /? ; la surface est comptée positivement si elle se situe
au-dessus de l’axe des abscisses, négativement sinon.
On la note généralementj /(x )d x . Une façon simple
de calculer l’intégrale d’une fo n c tio n /e st d’utiliser la
primitive F{x) de cette fonction à l’aide de la relation
suivante :
\j{ x ) à x = [F(x)l = F{h)-F(a)
On remarquera que, dans l’expression précédente, la constante C qui permet de définir
la primitive d e/ ( . y) en toute généralité, disparaît ; en conséquence, l’intégrale n’est pas
définie à une constante près. Par exemple, si on calcule l’intégrale de la fonction cos .y
entre les bornes 0 et n, on obtient :
rn
cos X dx = [sin x]o = sin 7Г - sin 0 = 0
Ce résultat se visualise facilement en remarquant que
la fonction cos X délimite une aire positive entre 0 et Tc/2
puis une aire négative de même surface entre 7T/2 et K ;
la somme fait donc 0.
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