Les dérivées, primitives et intégrales
Les principaux résultats concernant les dérivées, primitives et intégrales sont rappelés
ici. Dans tout ce qui suit, les fo n ctio n s/et g sont supposées continues et dérivables, x
étant la variable et a une constante.
1. Les dérivées
Par définition, la dérivée d’une fonction/(x) au point a
est la limite de l’expression :
\f{x) - f(a)]/(x - a) lorsque jc tend vers a.
Si l’on représente le graphe de/(x) en fonction de x, la
dérivée (que l’on n o te ra /’(-x)) au point a est la pente de
la tangente à la courbe en ce point.
Les dérivées des fonctions les plus usuelles sont rappelées ci-dessous
(x")’ = ax“ '
(a)’ = 0
(In x ) ’ = 1/x
(sin x)’ = cos X
(cos x)’ = - sin X
(e-')’ = e"
Lorsque deux fo n ctio n s,/et g, sont combinées algébriquement, les règles de dérivation sont les suivantes :
lf(x) + g (x)]’ = / ’(x) +
[/(x) X g (x )]’ = /(x) X g ’(x) + f’(x) X g(x)
/(•^)
g(^^y
U
O
c
D
û
Ю
t H
O
fNJ
x:
>.
C l
O
U
P
Exercice 1.14
Un résultat important concerne les fonctions composées où x est transformé par la
fonction/pour donner _y, lui-même transformé par la fonction g. La façon la plus simple
d’exprimer le mode de dérivation est d’utiliser une forme compacte de la définition de
la dérivée :fX^) = d/7dr. On a alors, pour les fonctions composées :
g ’(f(x)) = dg/dy X dy/dx
avec y =f(x)
Par exemple, si l’on s’intéresse à la fonction e~^\ x est transformé tout d’abord en -ax
(fonction /) et on prend l’exponentielle du résultat (fonction g). En appliquant la règle
précédente, on obtient :
d(e“^)/dr = d(e“^')/d(-i/x) x d (- ax)/dx = e^“ x (-a) = -ae~
En utilisant l’expression exponentielle des fonctions trigonométriques, on retrouve facile
ment les dérivées de ces fonctions.
J
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