22 • Paramètres statistiques de base
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22.4 INTERVALLE DE CONFIANCE DE LA MOYENNE
Quand le nombre n de mesures est petit, (n compris entre 4 et 15 par exemple), et qu’il
n’y a pas d’erreur systématique, la moyenne vraie m peut être assez différente de la valeur
centrale x. On est donc réduit à faire son estimation en calculant un intervalle de confiance
à l’intérieur duquel on se donne une probabilité que l’on s’impose (par exemple 95 %), que
la valeur vraie s’y trouve. Cette opération entraîne un risque d’erreur.
L’intervalle de confiance à prendre autour de x, afin qu’il englobe la moyenne vraie m
(ou x 0 en l’absence de toute erreur systématique) est donné par la formule suivante :
x −
t ·s
√
n
m x +
t ·s
√
n
(22.14)
t, paramètre de Student est un facteur statistique qui dépend de n et du niveau de confiance
choisi. Ses valeurs sont dans une table (table 22.2). Plus n est grand, plus cet intervalle
diminue. s est l’écart-type de la série de mesures.
Ce test de la variable t de Student permet également d’ajuster le nombre de mesures à
effectuer pour atteindre un résultat avec un niveau de confiance choisi par avance.
Tableau 22.2 Valeurs du coefficient de confiance bilatéral t (calcul de la distribution de Student).
n
niveau de confiance 90 % niveau de confiance 95 % niveau de confiance 99 %
2
6,31
12,71
63,66
3
2,92
4,30
9,93
4
2,35
3,18
5,84
5
2,13
2,78
4,60
6
2,02
2,57
4,03
7
1,94
2,45
3,71
8
1,90
2,36
3,50
9
1,86
2,31
3,36
10
1,83
2,26
3,25
11
1,81
2,23
3,17
12
1,80
2,20
3,11
15
1,76
2,14
2,98
20
1,73
2,09
2,86
30
1,70
2,05
2,76
60
1,67
2,00
2,66
120
1,66
1,98
2,62
9 999
1,65
1,96
2,58
Si on connaît, outre la moyenne x la valeur vraie x 0 (ou la moyenne vraie m), l’expression
22.14 permettra inversement de calculer la valeur de t, selon le niveau de confiance choisi
(expression 22.15 si n < 20, ou 22.16). Une valeur de t supérieure à celle de la table, lue à
la ligne correspondant à la valeur de n, sera due à une erreur systématique.
|t| =
|x − m|
s
√
n
(22.15)
ou
|t| =
|x − x 0 |
s
√
N
(22.16)
© Dunod – La photocopie non autorisée est un délit
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22.4 INTERVALLE DE CONFIANCE DE LA MOYENNE
Quand le nombre n de mesures est petit, (n compris entre 4 et 15 par exemple), et qu’il
n’y a pas d’erreur systématique, la moyenne vraie m peut être assez différente de la valeur
centrale x. On est donc réduit à faire son estimation en calculant un intervalle de confiance
à l’intérieur duquel on se donne une probabilité que l’on s’impose (par exemple 95 %), que
la valeur vraie s’y trouve. Cette opération entraîne un risque d’erreur.
L’intervalle de confiance à prendre autour de x, afin qu’il englobe la moyenne vraie m
(ou x 0 en l’absence de toute erreur systématique) est donné par la formule suivante :
x −
t ·s
√
n
m x +
t ·s
√
n
(22.14)
t, paramètre de Student est un facteur statistique qui dépend de n et du niveau de confiance
choisi. Ses valeurs sont dans une table (table 22.2). Plus n est grand, plus cet intervalle
diminue. s est l’écart-type de la série de mesures.
Ce test de la variable t de Student permet également d’ajuster le nombre de mesures à
effectuer pour atteindre un résultat avec un niveau de confiance choisi par avance.
Tableau 22.2 Valeurs du coefficient de confiance bilatéral t (calcul de la distribution de Student).
n
niveau de confiance 90 % niveau de confiance 95 % niveau de confiance 99 %
2
6,31
12,71
63,66
3
2,92
4,30
9,93
4
2,35
3,18
5,84
5
2,13
2,78
4,60
6
2,02
2,57
4,03
7
1,94
2,45
3,71
8
1,90
2,36
3,50
9
1,86
2,31
3,36
10
1,83
2,26
3,25
11
1,81
2,23
3,17
12
1,80
2,20
3,11
15
1,76
2,14
2,98
20
1,73
2,09
2,86
30
1,70
2,05
2,76
60
1,67
2,00
2,66
120
1,66
1,98
2,62
9 999
1,65
1,96
2,58
Si on connaît, outre la moyenne x la valeur vraie x 0 (ou la moyenne vraie m), l’expression
22.14 permettra inversement de calculer la valeur de t, selon le niveau de confiance choisi
(expression 22.15 si n < 20, ou 22.16). Une valeur de t supérieure à celle de la table, lue à
la ligne correspondant à la valeur de n, sera due à une erreur systématique.
|t| =
|x − m|
s
√
n
(22.15)
ou
|t| =
|x − x 0 |
s
√
N
(22.16)
© Dunod – La photocopie non autorisée est un délit