22 • Paramètres statistiques de base
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La valeur centrale, de même que les mesures sont des variables aléatoires, puisque impossibles à connaître par avance.
Cependant ce n’est pas parce qu’en répétant une mesure un grand nombre de fois, on
trouve des valeurs peu différentes entre elles, que la valeur centrale est proche de la valeur
exacte, désignée par la valeur vraie x 0 , (que l’on ne connaît pas) par suite de l’existence
possible d’erreurs systématiques.
On considère que chaque mesure x représente la somme de la valeur vraie x 0 et d’une
erreur expérimentale absolue ´. L’erreur absolue ´ i sur la mesure i est donc exprimée par :
´ i = x i − x 0
(22.2)
Si n devient très grand (cas d’une population statistique), la valeur centrale x devient la
moyenne vraie, m, qui se confondra avec la valeur vraie x 0 en l’absence d’erreurs systématiques et à condition que les mesures suivent la loi dite Normale, encore appelée distribution
de Gauss (fig. 22.2).
Si la valeur vraie x 0 est connue (analyse effectuée, par exemple, sur un étalon de composition parfaitement définie), on caractérise la justesse (ou exactitude) du résultat ou de la
méthode utilisée par l’erreur totale ´ calculée comme suit à partir de la moyenne vraie (cf.
tableau 22.1).
´ = m − x 0
(22.3)
L’erreur relative E R sur une mesure (ou sur la valeur centrale) correspond au quotient de la
valeur absolue de l’écart correspondant |´ i | (ou |´|), par la valeur vraie. E R peut s’exprimer
en % ou en ppm.
E R =
|x − x 0 |
x 0
(x pour x i ou x)
( 2 2 .4)
Si on ne connaît pas x 0 , ce qui est en général le cas en analyse chimique, on calcule l’erreur
expérimentale de la mesure i, soit e i , en remplaçant dans 22.2, x 0 par la moyenne x :
e i = x i − x
(22.5)
e i représente l’écart algébrique entre la moyenne et la i
e mesure. L’erreur expérimentale
moyenne d, ou moyenne des écarts, calculée sur les n mesures, permet d’apprécier la fidélité :
d =
|x i − x|
n
(22.6)
Dans cette dernière relation on fait intervenir les valeurs absolues des erreurs expérimentales, sinon d tendrait rapidement vers 0 avec n.
22.2 VARIANCE ET ÉCART-TYPE
La moyenne des écarts a cependant pour inconvénient qu’elle n’est pas interprétable statistiquement, car les grandes et petites déviations individuelles, qui ne sont pas également
probables, ont le même poids. Aussi choisit-on plutôt de sommer les carrés des différences.
© Dunod – La photocopie non autorisée est un délit
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La valeur centrale, de même que les mesures sont des variables aléatoires, puisque impossibles à connaître par avance.
Cependant ce n’est pas parce qu’en répétant une mesure un grand nombre de fois, on
trouve des valeurs peu différentes entre elles, que la valeur centrale est proche de la valeur
exacte, désignée par la valeur vraie x 0 , (que l’on ne connaît pas) par suite de l’existence
possible d’erreurs systématiques.
On considère que chaque mesure x représente la somme de la valeur vraie x 0 et d’une
erreur expérimentale absolue ´. L’erreur absolue ´ i sur la mesure i est donc exprimée par :
´ i = x i − x 0
(22.2)
Si n devient très grand (cas d’une population statistique), la valeur centrale x devient la
moyenne vraie, m, qui se confondra avec la valeur vraie x 0 en l’absence d’erreurs systématiques et à condition que les mesures suivent la loi dite Normale, encore appelée distribution
de Gauss (fig. 22.2).
Si la valeur vraie x 0 est connue (analyse effectuée, par exemple, sur un étalon de composition parfaitement définie), on caractérise la justesse (ou exactitude) du résultat ou de la
méthode utilisée par l’erreur totale ´ calculée comme suit à partir de la moyenne vraie (cf.
tableau 22.1).
´ = m − x 0
(22.3)
L’erreur relative E R sur une mesure (ou sur la valeur centrale) correspond au quotient de la
valeur absolue de l’écart correspondant |´ i | (ou |´|), par la valeur vraie. E R peut s’exprimer
en % ou en ppm.
E R =
|x − x 0 |
x 0
(x pour x i ou x)
( 2 2 .4)
Si on ne connaît pas x 0 , ce qui est en général le cas en analyse chimique, on calcule l’erreur
expérimentale de la mesure i, soit e i , en remplaçant dans 22.2, x 0 par la moyenne x :
e i = x i − x
(22.5)
e i représente l’écart algébrique entre la moyenne et la i
e mesure. L’erreur expérimentale
moyenne d, ou moyenne des écarts, calculée sur les n mesures, permet d’apprécier la fidélité :
d =
|x i − x|
n
(22.6)
Dans cette dernière relation on fait intervenir les valeurs absolues des erreurs expérimentales, sinon d tendrait rapidement vers 0 avec n.
22.2 VARIANCE ET ÉCART-TYPE
La moyenne des écarts a cependant pour inconvénient qu’elle n’est pas interprétable statistiquement, car les grandes et petites déviations individuelles, qui ne sont pas également
probables, ont le même poids. Aussi choisit-on plutôt de sommer les carrés des différences.
© Dunod – La photocopie non autorisée est un délit