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7 • Structure des cristaux
Au sein de la maille élémentaire, les coordonnées de tous les ions présents
sont :
Ti 4+ : (0, 0, 0) ; (0, 0, 1) ; (1, 0, 0) ; (1, 0, 1) ; (0, 1, 0) ; (0, 1, 1) ; (1, 1, 0) ; (1,
1, 1) ; (1/2, 1/2, 1/2)
O 2– : (0,3, 0,3, 0) ; (0,3, 0,3 , 1) ; (0,7, 0,7, 0) ; (0,7, 0,7, 1) (0,8, 0,2, 1/2)
(0,2, 0,8, 1/2)
a) Faire une projection de cette maille dans le plan de base ( , ). Dessiner
alors la maille de TiO 2 en perspective.
b) Calculer les différentes distances Ti-Ti au sein de cette maille. En déduire
la coordinence du titane par rapport à lui-même.
c) En considérant l’ion titane au centre de la maille, calculez toutes les
distances Ti-O. En déduire la coordinence du titane par rapport à l’oxygène.
d) Calculer la masse volumique de TiO 2 de structure rutile.
Données : N A ϭ6,02.10 –23 mol –1 ; M Ti ϭ 48 g.mol –1 et M O ϭ 16 g.mol –1
Solution
a) La maille élémentaire de la structure rutile est de symétrie quadratique et ses paramètres de
maille sont a ϭ b ϭ 4,58 Å, c ϭ 2,95 Å et α ϭ β ϭ γ ϭ 90˚. Le plan de base ( , ) est donc
un carré dont la longueur du côté est égale à 4,58 Å. Il s’agit donc de placer tous les ions de la
maille élémentaire dans ce plan. Les coordonnées des ions dans le plan de base ( , ) ne seront
pas indiquées, seule la coordonnée z de chaque ion sera précisée. À partir de cette projection, la
maille élémentaire de la structure rutile peut être construite. (Figures ci-dessous).
b) Pour calculer les distances Ti-Ti, nous allons considérer l’ion Ti 4+ en (0, 0, 0). Cet ion Ti 4+ a
comme voisins :
• 4 ions Ti 4+ distants de a ; d 1 (Ti-Ti) ϭ 4,58 Å
• 2 ions Ti 4+ distants de c ; d 2 (Ti-Ti) ϭ 2,95 Å
• 8 ions Ti 4+ (4 ions en z ϭ 1/2 et 4 en z ϭ –1/2)
distants de d que nous devons calculer (d 3 (Ti-Ti)).
En appliquant le théorème de Pythagore :
d 3 (Ti-Ti) ϭ
ϭ 3,56 Å
a b
a b
a b
0,1
a
a
c
b
a
0,1
Projection de la maille rutile sur le plan de base (a,b)
Maille rutile en perspective
0,1
0,1
→
→ →
b
→
1/2
1/2
1/2
0,1
0,1
0,1
d 3 (Ti-Ti)
0,1
0,1
0,1
1/2
1/2
1/2
0,1
0,1
a
2
------ -
2
c
2
-- -
2
+
7 • Structure des cristaux
Au sein de la maille élémentaire, les coordonnées de tous les ions présents
sont :
Ti 4+ : (0, 0, 0) ; (0, 0, 1) ; (1, 0, 0) ; (1, 0, 1) ; (0, 1, 0) ; (0, 1, 1) ; (1, 1, 0) ; (1,
1, 1) ; (1/2, 1/2, 1/2)
O 2– : (0,3, 0,3, 0) ; (0,3, 0,3 , 1) ; (0,7, 0,7, 0) ; (0,7, 0,7, 1) (0,8, 0,2, 1/2)
(0,2, 0,8, 1/2)
a) Faire une projection de cette maille dans le plan de base ( , ). Dessiner
alors la maille de TiO 2 en perspective.
b) Calculer les différentes distances Ti-Ti au sein de cette maille. En déduire
la coordinence du titane par rapport à lui-même.
c) En considérant l’ion titane au centre de la maille, calculez toutes les
distances Ti-O. En déduire la coordinence du titane par rapport à l’oxygène.
d) Calculer la masse volumique de TiO 2 de structure rutile.
Données : N A ϭ6,02.10 –23 mol –1 ; M Ti ϭ 48 g.mol –1 et M O ϭ 16 g.mol –1
Solution
a) La maille élémentaire de la structure rutile est de symétrie quadratique et ses paramètres de
maille sont a ϭ b ϭ 4,58 Å, c ϭ 2,95 Å et α ϭ β ϭ γ ϭ 90˚. Le plan de base ( , ) est donc
un carré dont la longueur du côté est égale à 4,58 Å. Il s’agit donc de placer tous les ions de la
maille élémentaire dans ce plan. Les coordonnées des ions dans le plan de base ( , ) ne seront
pas indiquées, seule la coordonnée z de chaque ion sera précisée. À partir de cette projection, la
maille élémentaire de la structure rutile peut être construite. (Figures ci-dessous).
b) Pour calculer les distances Ti-Ti, nous allons considérer l’ion Ti 4+ en (0, 0, 0). Cet ion Ti 4+ a
comme voisins :
• 4 ions Ti 4+ distants de a ; d 1 (Ti-Ti) ϭ 4,58 Å
• 2 ions Ti 4+ distants de c ; d 2 (Ti-Ti) ϭ 2,95 Å
• 8 ions Ti 4+ (4 ions en z ϭ 1/2 et 4 en z ϭ –1/2)
distants de d que nous devons calculer (d 3 (Ti-Ti)).
En appliquant le théorème de Pythagore :
d 3 (Ti-Ti) ϭ
ϭ 3,56 Å
a b
a b
a b
0,1
a
a
c
b
a
0,1
Projection de la maille rutile sur le plan de base (a,b)
Maille rutile en perspective
0,1
0,1
→
→ →
b
→
1/2
1/2
1/2
0,1
0,1
0,1
d 3 (Ti-Ti)
0,1
0,1
0,1
1/2
1/2
1/2
0,1
0,1
a
2
------ -
2
c
2
-- -
2
+