5. C =
vol. occupé par les sphères dans une maille
vol. de la maille
=
4 ×
4
3
× π × r
3
a
a 3
.
Or, r a = a ×
√
2
4
; C =
16
3
× π ×
a ×
√
2
4
3
a 3
=
π
3
×
(
√
2)
3
4
= 0,74 .
C r i s t a l m é t a l l i q u e d e s t r u c t u r e h c
Le titane cristallise sous deux formes allotropiques Ti α et Ti β . Le Ti α correspond à
un empilement d’atomes de type hexagonal compact .
Données : M(Ti) = 48 g·mol –1 ; nombre d’Avogadro N A = 6,02 × 10
23 mol –1 .
1. Sachant que a = 413,5 × 10 −12 m et que
c
a
= 2 ×
2
3
, calculez le volume V de
cette maille. On rappelle que la surface d’un hexagone régulier de paramètre a est
donnée par S hexagone = a
2
×
√
3
2
.
2. Une maille hexagonale compacte comporte 6 atomes. Calculez la masse volumique ρ(Ti α ) du titane α ; justifiez alors l’utilisation du titane dans l’aéronautique.
Donnée : masse volumique du fer : 7 870 kg·m –3 .
S o l u t i o n
1. Le volume V de la maille est (surface de base × hauteur) soit :
V = a
2
×
√
3
2
× c = a
3
×
√
2 = 10 × 10 −29 m
3 .
2. ρ =
m
V
avec m = z × (masse d 1 atome) = z ×
M(Ti)
N A
et V = a
3
×
√
2.
ρ =
z × M(Ca)
N A × a 3 ×
√
2
= 4 800 kg · m −3 .
Puisque Ti est bien moins dense que Fe, son utilisation dans le domaine aéronautique
se trouve alors justifiée.
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F I C H E 4 – L e s c r i s t a u x
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