1.3 • Compacité
\J Cf.aussi 1.2.2 3) Prop.3 2) p.45.
Pour tout n de N* , l'application det : Mn (JK) -----+ lK est continue.
A1---+det(A)
Un exemple de partie compacte dans un espace de fonctions
On note E = C([O ; l],IR.) muni de 11- 11 00 • Soit f E E fixée. On note, pour tout a E [O; 1] :
fr, : [O; l] ---+ IR, X 1---+ f a(X) = f (ax) ,
et on note F = Ua ; a E [O; 1]}.
Montrer que F est une partie compacte de E.
Solution
Notons On a ainsi, par définition de F : F = cp([O I]).
On sait que [0; 1] est un compact de R
Montrons que Soit e > 0 fixé.
Puisque f est continue sur le segment [O; 1], d'après le théorème de Heine, f est
uniformément continue sur [O; l]. Il existe donc 17 > 0 tel que :
V(u ,v)E[0;1]
2 , ( l u-v l~ JJ ==> lf(u)-f(v) l~e ).
Soit (a,fJ) E [O; 1]
2 tel que la -.BI ~ 17.
On a:
V x E [0 ; l] , lax - ,Bx l = la - fJ lx ~ 17x ~ 17 ,
donc:
V x E [O; l] , If (a x ) - f (,Bx )I ~ e,
c'est-à-dire :
V x E [0; l], lfa(x) - f p(x)I ~ e.
Ceci montre :
ll
Ve > 0, 317 > 0, V(a,,B) E [O; 1]2, la -.B I~ 11 ==> ll
Conseils
Nous allons montrer que Fest compacte en
présentant F comme image directe d'un
compact par une application continue.
Cf.§ 1.3.2 Théorème 2.
Théorème de Heine pour f : [O ; 1] ---+ IR.
continue (d. Analyse MPSI, § 4.3.6 Th.). ou,
plus généralement, théorème de Heine du
§ 1.3.1 de ce volume.
)
65
\J Cf.aussi 1.2.2 3) Prop.3 2) p.45.
Pour tout n de N* , l'application det : Mn (JK) -----+ lK est continue.
A1---+det(A)
Un exemple de partie compacte dans un espace de fonctions
On note E = C([O ; l],IR.) muni de 11- 11 00 • Soit f E E fixée. On note, pour tout a E [O; 1] :
fr, : [O; l] ---+ IR, X 1---+ f a(X) = f (ax) ,
et on note F = Ua ; a E [O; 1]}.
Montrer que F est une partie compacte de E.
Solution
Notons On a ainsi, par définition de F : F = cp([O I]).
On sait que [0; 1] est un compact de R
Montrons que Soit e > 0 fixé.
Puisque f est continue sur le segment [O; 1], d'après le théorème de Heine, f est
uniformément continue sur [O; l]. Il existe donc 17 > 0 tel que :
V(u ,v)E[0;1]
2 , ( l u-v l~ JJ ==> lf(u)-f(v) l~e ).
Soit (a,fJ) E [O; 1]
2 tel que la -.BI ~ 17.
On a:
V x E [0 ; l] , lax - ,Bx l = la - fJ lx ~ 17x ~ 17 ,
donc:
V x E [O; l] , If (a x ) - f (,Bx )I ~ e,
c'est-à-dire :
V x E [0; l], lfa(x) - f p(x)I ~ e.
Ceci montre :
ll
Ve > 0, 317 > 0, V(a,,B) E [O; 1]2, la -.B I~ 11 ==> ll
Conseils
Nous allons montrer que Fest compacte en
présentant F comme image directe d'un
compact par une application continue.
Cf.§ 1.3.2 Théorème 2.
Théorème de Heine pour f : [O ; 1] ---+ IR.
continue (d. Analyse MPSI, § 4.3.6 Th.). ou,
plus généralement, théorème de Heine du
§ 1.3.1 de ce volume.
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