-0
0
c
::J
0
(V)
......
0
N
@
64
Chapitre 1 • Espaces vectoriels normés
Ainsi, si E est de dimension finie,
alors
L,C(E, F) = L(E,F).
Exercice 1.3.1 O.
Cette égalité se voit par développement
du produit de plusieurs sommes de
plusieurs termes.
Soient E, F deux IK-evn ; si E est de dimension finie, alors toute application linéaire
f : E -----+ F est continue.
Preuve
Notons N la norme de E, B = (e 1 ,. •• ,en) une base de E , N 00 :
E----+ IR
. D'après le
"
x =l: x;e; t----> Max lx;!
i =I
l ~i ~ "
Théorème 1 p. 63, il existe ME IR+ tel que: Vx E E , N 00 (x) ::::;; M N(x).
n
On a alors, pour tout x = L x;e; de E :
i=I
n
11
(
n
)
ll f(x) llF =li 8x;f(e;)llF : : : : ; ; 8 lx;l ll f(e;)ll F : : : : ; ; 8 llf(e;)llF Noo (x) ::::;; CN(x) ,
n
où C = ML l If (e;) l IF. D'après 1.2.6 Théorème p. 52, on conclut que f est continue.
i= I
•
Continuité d'une application multilinéaire en dimension finie
-
~
F un IK-evn.
Soient NE N*, (Ek,ll · llk)I .;;k.;;N des IK -evn de dimensions finies,
N
Toute application multilinéaire

J
k= I
- - -
Preuve
Puisque chaque Ek est de dimension finie, 11 · 1 ik est équivalente à 11 · l loo dans Ek. associée à une base
fixée Bk = (ek.;.) 1,;;;,,;; 11 , de Ek ; pourtout k de { 1,. .. , N}, il existe donc a k E lR+ tel que :
N
Puisque

k= I
"•
xk = L Çk.i, ek.i, :
ik= I
11 1
1lN
rp(x1 ,. .. ,x N) = L ... L Çi.; 1 ••• ÇN.;Nrp(ei ,; 1
, ••• ,eN,;N).
i 1= I
iN= I
Puisque 1 rp(e1 .; 1 , ••• ,eN.;N) ; (i 1, ... ,i N) E Il {l , ... ,nk} J est fini, il existe M E lR+ tel que,
k= I
N
pour tout (i,, ... ,ÏN) de n{l ... .,nk} , on ait: 1irp(e1.ip· .. ,eN.iN)ll F :( M .
k= I
Il en résulte :
Ill
'1 N
llrp(x1,. .. ,XN) Il F :( ML ... L IÇu 1 1 · · · IÇN.iN 1
:( Mnil lxilloo ... nNllxNlloo :( (MD nk D ak) D llxkl!k.
On en déduit la continuité de

la solution de P l. l p. 572.