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Chapitre 1 • Espaces vectoriels normés
Les méthodes à retenir
Compacité : cas de la dimension finie
• Dans un evn de dimension finie, pour montrer qu'une partie est compacte, il suffit de montrer qu' elle est fermée et bornée (ex. 1.3.6 à 1.3.8).
Exercices
1.3.6 Ensemble de Cantor
On note C0 = [O; l],C, =Co - ]~ ; ~[,
C2 = C1 - (] ~; ~ [ U ] ~ ; ~[) , etc., C = r}, Cn.
n E"
0
Montrer que C est un compact de IR et que C = 0 .
1.3. 7 Soient E un evn de dimension finie, K un compact
de E ; montrer qu'il existe un ouvert U de E tel que :
K c U et U est compact.
1.3.8 Soitf : IR -+ IR une application bornée telle que le
graphe G1 def (défini par GJ = {(x,f(x));x E IR}) soit
fermé. Démontrer que f est continue. (Utiliser l'ex. 1.3.4).
1.4 Complétude
1.3.9 a) Soient E , F deux evn tels que E soit de dimension finie, f : E ----+ F continue telle que, pour toute partie bornée B de F , 11 (B) soit une partie bornée de E.
Démontrer que, pour toute partie fermée G de E , f ( G) est
une partie fermée de F.
b) Application : montrer, pour tout P de IK[X] et toute partie fermée G de IK, que P(G) est fermée.
1.3.10 Montrer que, dans un IK-evn de dimension finie,
tout sous-espace vectoriel est fermé.
Soient (E,11. 11), un IK-evn, d la distance associée à li.li .
1.4.1
Suites de Cauchy
Une suite (un)n EN dans E est dite de Cauchy si et seulement si :
N ne doit pas dépendre de p ni der.
On peut remplacer cette condition par la condition suivante, qui lui est équivalente :
Exercices 1.4.1, 1.4.2.
Remarques:
7) Si deux normes N,N' sur E sont équivalentes, alors les suites de Cauchy de (E ,N) sont les
mêmes que celles de (E,N' ).
2) Toute suite extraite d'une suite de Cauchy est de Cauchy.