"'O
0
c
::J
0
(V)
ri
0
N
@
...._,
..c
Ol
'i:
>0.
0
u
et f : y t----7 ,Jt + eY, la domination étant assurée, par exemple,
par Calculer ensuite la
1
~dy par le changement de
variable z = ,Jî+eY.
l+ l
c
Réponse : { " .J1+.Xiï dt ~ - ,
Ji
noo n
où
C = 2( .Jf+e - ,/2+ ~ - ln(~+ 1)
+ ln(,/2+ o) ' . : : : : 1,642056.
c) Remarqu e r d'abord que, po ur tout a de ]O; +oo[,
1
x t----7
4
2
2
est intégrable sur ]0; +oo[.
(x + l )(x +a )
ire méthode
En notant l (a) l'intégrale proposée, on a :
a 2 I (a)=
dt
!o
+oo
a2
O
(x4 + l )(x2 + a2)
!o
+oo dx
=
- - - R(a) ,
o x 4 + 1
!o
+oo
x2
où R(a) =
dt.
0
(x 4 + l) (x2 + a2)
x 2
l
Comme: Vx E [O; +oo [ , x 4 +
1
,,::;; l ' on déduit:
1 r +oo
dt
0 , , ::;; R(a) ,,::;; 2 Jo x2 + a2
1 [ 1
X ]+oo lC
= - - Arctan -
= - ,
2 a
ao
4a
et donc R (a) ~ O.
a-->+oo
Ceci montre :
1 la+oo dt
!(a ) ~ -
- -
a-->+oo a2 o x4 + 1
Enfin, calculer r +oo ~ ( = rr,/2)·
Jo x4 + 1
4
2e méthode
r +oo
a2
En notant J (a) = Jo (x 4 + l)(x 2 + a 2 ) dt et n = E(a)
(pour a ~ 1), on a: J (n + 1) ,,::;; J(a) ,,::;; J(n). Appliquer le
théorème de convergence dominée sur ]O; +oo[ à
( fn : X t----7
4
n2 2
2 )
(x + l)(x +n) n;;. l
1
et f : X t----7 - 4
- -
X + 1
1
la domination étant assurée par - - ,
X + 1
!o
+oo dt
lC ,J2
d'où J(n)-------+
- 4
- - = - -,
1100
Q
X + l
4
rr,/2
puis J(a) ~ - - .
a-->+oo 4
Considérons, pour tout n de N*, f 11 : ]0; 1) -----+ IR définie par :
] k-1 k]
Vk E {l , ... ,n}, Vx E -n- ;-;; ,
f11(X) = f (sn + ~).
• Pour chaque n de N*, f 11 est en escalier sur ]O; l] et admet
f ( Sn + ~) pour limite en o+, donc f n est continue par morceaux et intégrable sur ]O; 1),
et f
1
fn(x) dt=~ t f ( sn + ~).
Jo
n k= l
n
• Soitx E]O; 1). Pour chaquen de N*, il existe kn ,x E { 1, ... ,n}
kn x
kn ~ + 1
.
unique tel que - ' < x , , ::;; '
et on a, puisque
n
n
Sn + kll ,x -------+ x et que f est continue en x :
n
noo
(
kn X)
fn(X) = f Sn+ - ' -------+ f(x).
fi
noo
c.s.
Ainsi : fn -------+ f.
noo
• f est continue par morceaux sur ]O; +oo[.
•On a : Vn EN*, Vx E]O; 1),
0 , , ::;; !11 (x ) = f ( Sn + ~) , , : : ; ; f ( ~) ,,::;; f (x) .
D'après le théorème de convergence dominée, on conclut :
r 1 fn -------+ r 1 f.
lo
1100
lo
Réponse : la
1
f.
~
l
a) r
2 Sin 2 n+ l X dt
=
r (1 - u 2 )n du
Jo
[u=cosx ] Jo
= _1 r. . rn (1 -t2 )ndt
[r =u.fo] Jn Jo
n
·
b) Considérons, pour n E N* , fn : [O; +oo[-----+ IR définie par :
si t E [0; .jn]
si t E].jn; +oo[.
•Pour tout n de N*, fn est continue par morceaux et intégrable
sur [O; +oo[.
C.S.
• fn -------+ f, où f: [O; +oo[---+ IR , et f est continue par mornoo
tf---'>e-r2
ceaux sur [O; +oo[.
•On a: Vn EN*, 0 ,,::;; fn ,,::;; f, car, pour fi E N*et
t E [0; .jn]:
ln(fn(t)) = n ln(l - t:) , , : : ; ; n( - t:) = -t2 ,
et f est continue par morceaux, ~ 0, intégrable sur [O; +oo[.
1 659
0
c
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Ol
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0
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et f : y t----7 ,Jt + eY, la domination étant assurée, par exemple,
par Calculer ensuite la
1
~dy par le changement de
variable z = ,Jî+eY.
l+ l
c
Réponse : { " .J1+.Xiï dt ~ - ,
Ji
noo n
où
C = 2( .Jf+e - ,/2+ ~ - ln(~+ 1)
+ ln(,/2+ o) ' . : : : : 1,642056.
c) Remarqu e r d'abord que, po ur tout a de ]O; +oo[,
1
x t----7
4
2
2
est intégrable sur ]0; +oo[.
(x + l )(x +a )
ire méthode
En notant l (a) l'intégrale proposée, on a :
a 2 I (a)=
dt
!o
+oo
a2
O
(x4 + l )(x2 + a2)
!o
+oo dx
=
- - - R(a) ,
o x 4 + 1
!o
+oo
x2
où R(a) =
dt.
0
(x 4 + l) (x2 + a2)
x 2
l
Comme: Vx E [O; +oo [ , x 4 +
1
,,::;; l ' on déduit:
1 r +oo
dt
0 , , ::;; R(a) ,,::;; 2 Jo x2 + a2
1 [ 1
X ]+oo lC
= - - Arctan -
= - ,
2 a
ao
4a
et donc R (a) ~ O.
a-->+oo
Ceci montre :
1 la+oo dt
!(a ) ~ -
- -
a-->+oo a2 o x4 + 1
Enfin, calculer r +oo ~ ( = rr,/2)·
Jo x4 + 1
4
2e méthode
r +oo
a2
En notant J (a) = Jo (x 4 + l)(x 2 + a 2 ) dt et n = E(a)
(pour a ~ 1), on a: J (n + 1) ,,::;; J(a) ,,::;; J(n). Appliquer le
théorème de convergence dominée sur ]O; +oo[ à
( fn : X t----7
4
n2 2
2 )
(x + l)(x +n) n;;. l
1
et f : X t----7 - 4
- -
X + 1
1
la domination étant assurée par - - ,
X + 1
!o
+oo dt
lC ,J2
d'où J(n)-------+
- 4
- - = - -,
1100
Q
X + l
4
rr,/2
puis J(a) ~ - - .
a-->+oo 4
Considérons, pour tout n de N*, f 11 : ]0; 1) -----+ IR définie par :
] k-1 k]
Vk E {l , ... ,n}, Vx E -n- ;-;; ,
f11(X) = f (sn + ~).
• Pour chaque n de N*, f 11 est en escalier sur ]O; l] et admet
f ( Sn + ~) pour limite en o+, donc f n est continue par morceaux et intégrable sur ]O; 1),
et f
1
fn(x) dt=~ t f ( sn + ~).
Jo
n k= l
n
• Soitx E]O; 1). Pour chaquen de N*, il existe kn ,x E { 1, ... ,n}
kn x
kn ~ + 1
.
unique tel que - ' < x , , ::;; '
et on a, puisque
n
n
Sn + kll ,x -------+ x et que f est continue en x :
n
noo
(
kn X)
fn(X) = f Sn+ - ' -------+ f(x).
fi
noo
c.s.
Ainsi : fn -------+ f.
noo
• f est continue par morceaux sur ]O; +oo[.
•On a : Vn EN*, Vx E]O; 1),
0 , , ::;; !11 (x ) = f ( Sn + ~) , , : : ; ; f ( ~) ,,::;; f (x) .
D'après le théorème de convergence dominée, on conclut :
r 1 fn -------+ r 1 f.
lo
1100
lo
Réponse : la
1
f.
~
l
a) r
2 Sin 2 n+ l X dt
=
r (1 - u 2 )n du
Jo
[u=cosx ] Jo
= _1 r. . rn (1 -t2 )ndt
[r =u.fo] Jn Jo
n
·
b) Considérons, pour n E N* , fn : [O; +oo[-----+ IR définie par :
si t E [0; .jn]
si t E].jn; +oo[.
•Pour tout n de N*, fn est continue par morceaux et intégrable
sur [O; +oo[.
C.S.
• fn -------+ f, où f: [O; +oo[---+ IR , et f est continue par mornoo
tf---'>e-r2
ceaux sur [O; +oo[.
•On a: Vn EN*, 0 ,,::;; fn ,,::;; f, car, pour fi E N*et
t E [0; .jn]:
ln(fn(t)) = n ln(l - t:) , , : : ; ; n( - t:) = -t2 ,
et f est continue par morceaux, ~ 0, intégrable sur [O; +oo[.
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