-0
0
c
::J
0
(V)
ri
0
N
@
...._,
..c
Ol
ï::::
>0.
0
u
D'après le théorème de convergence dominée,
!o
+oo
!o+oo
fn ~
f, c'est-à-dire:
0
noo
0
!o
./ii (
t2 )n
!o+oo 2
1 - -
dt ~
e - t dt.
Q
n
noo
o
c) D'après a) et la formule de Wallis:
On conclut, d'après b):
a) Considérons, pour n E N*, fn : JO; +oc[---+ lR définie par :
fn(x) = 1 (
1 + ;:r
si x EJn; +oc[.
•Pour tout n de N*, fn est continue par morceaux et intégrable
sur JO; +oc[.
c.s.
•fn ~ f,oùf:JO; +oc[---+ JR ,etfestcontinueparmor1100
Xt--+eaxrp(x)
ceaux sur JO; +oc[.
•On a: Vn EN*, IJ, 1 I :::;; Il l, et If 1 est continue par morcreaux, ~ 0 , intégrable sur JO; +oc[.
D'après le théorème de convergence dominée,
!o
+oo
!o+oo
f~ ~
f, c'est-à-dire :
0
noo
0
Io
n( ax)n
!o+oo
l + -
Q
n
noo
o
b) 1) Pour a EJ 1; +oc [, sur JO; +oc[, donc, d'après a) :
2) Pour b EJ - oc; 1 [, sur JO; +oc[ et x 1--+ e -x ebx = e - (1 -b)x est intégrable sur
JO; +oc[ , donc, d'après a):
r (1 - ~)n ebxdx ~ r +oo e -x é x dx = _1 __
Jo
n
noo Jo
1 - b
3) Pour c EJO; +oc[, JO; +oc[, donc, d'après a):
a) Notons, pour n E N*, j, 1 : [0; +oc[---+ lR l'application définie par:
si X E [O; nJ
six E)n; +oc[.
a) 1) Notons, pour n E N*, gn : [O; +oc[---+ lR l'application
définie par :
1
1 - J,1(x)
gn(X) =
X
si X EJO; +oc[
0
si X= 0.
• Pour tout n de N*, gn est continue sur [O; 1 J.
c.s.
• g,, ~ g sur [O; 1) ,
noo
1
1 - e-x
OÙ g : X !--+
X O
si
si
X E)O; lJ I ·
x=O
et g est continue par morceaux sur [O; 1).
•On a, pour tout n de N*, g,, (0) = 0, et pour tout x de JO; 1) :
1 n- 1 (
X )k 1
= - L: 1 - - :::;; - . n = 1,
n k=O
n
n
donc, pour tout n de N* , lgn 1 :::;; 1, et x 1--+ 1 est continue par
morceaux, ~ 0 , intégrable sur [0; 1 J.
D'après le théorème de convergence dominée,
r
1
g,, ~ r
1
g, c'est-à-dire:
lo
noo lo
1
11-e-x
ln~
dx.
noo
Q
X
2) Notons, pour n E N* , h,, : [1 ; +oc[--+ lR .
Xt--+ f,,(x)
X
•Pour tout n de N*, hn est continue par morceaux sur [1 ; +oc[.
c.s.
• h 11 ~ h où h : [1; +oc[--+ JR, eth est continue par mor1100
e-x
xt--+-x
ceaux sur [l; +oo[.
•On a, pour tout n de N*, 0 :::;; h 11 :::;; h , eth est continue par
morceaux, ~ 0, intégrable sur [1 ; + oc[.
D'après le théorème de convergence dominée,
i
+oo
hn~
1
noo
r+oo
Ji h , c'est-à-dire:
l
i
+oo e-x
!o'e-Y
-
dx
- - dy.
]
X
( =l] 0 Y
y X
/3) Soit n E N* .
i n in 1 in f,,(x)
Ona:
gn=
- dx -
- - dx=lnn-1 11 ,
1
] X
]
X
0
c
::J
0
(V)
ri
0
N
@
...._,
..c
Ol
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0
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D'après le théorème de convergence dominée,
!o
+oo
!o+oo
fn ~
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noo
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!o
./ii (
t2 )n
!o+oo 2
1 - -
dt ~
e - t dt.
Q
n
noo
o
c) D'après a) et la formule de Wallis:
On conclut, d'après b):
a) Considérons, pour n E N*, fn : JO; +oc[---+ lR définie par :
fn(x) = 1 (
1 + ;:r
si x EJn; +oc[.
•Pour tout n de N*, fn est continue par morceaux et intégrable
sur JO; +oc[.
c.s.
•fn ~ f,oùf:JO; +oc[---+ JR ,etfestcontinueparmor1100
Xt--+eaxrp(x)
ceaux sur JO; +oc[.
•On a: Vn EN*, IJ, 1 I :::;; Il l, et If 1 est continue par morcreaux, ~ 0 , intégrable sur JO; +oc[.
D'après le théorème de convergence dominée,
!o
+oo
!o+oo
f~ ~
f, c'est-à-dire :
0
noo
0
Io
n( ax)n
!o+oo
l + -
Q
n
noo
o
b) 1) Pour a EJ 1; +oc [, sur JO; +oc[, donc, d'après a) :
2) Pour b EJ - oc; 1 [, sur JO; +oc[ et x 1--+ e -x ebx = e - (1 -b)x est intégrable sur
JO; +oc[ , donc, d'après a):
r (1 - ~)n ebxdx ~ r +oo e -x é x dx = _1 __
Jo
n
noo Jo
1 - b
3) Pour c EJO; +oc[, JO; +oc[, donc, d'après a):
a) Notons, pour n E N*, j, 1 : [0; +oc[---+ lR l'application définie par:
si X E [O; nJ
six E)n; +oc[.
a) 1) Notons, pour n E N*, gn : [O; +oc[---+ lR l'application
définie par :
1
1 - J,1(x)
gn(X) =
X
si X EJO; +oc[
0
si X= 0.
• Pour tout n de N*, gn est continue sur [O; 1 J.
c.s.
• g,, ~ g sur [O; 1) ,
noo
1
1 - e-x
OÙ g : X !--+
X O
si
si
X E)O; lJ I ·
x=O
et g est continue par morceaux sur [O; 1).
•On a, pour tout n de N*, g,, (0) = 0, et pour tout x de JO; 1) :
1 n- 1 (
X )k 1
= - L: 1 - - :::;; - . n = 1,
n k=O
n
n
donc, pour tout n de N* , lgn 1 :::;; 1, et x 1--+ 1 est continue par
morceaux, ~ 0 , intégrable sur [0; 1 J.
D'après le théorème de convergence dominée,
r
1
g,, ~ r
1
g, c'est-à-dire:
lo
noo lo
1
11-e-x
ln~
dx.
noo
Q
X
2) Notons, pour n E N* , h,, : [1 ; +oc[--+ lR .
Xt--+ f,,(x)
X
•Pour tout n de N*, hn est continue par morceaux sur [1 ; +oc[.
c.s.
• h 11 ~ h où h : [1; +oc[--+ JR, eth est continue par mor1100
e-x
xt--+-x
ceaux sur [l; +oo[.
•On a, pour tout n de N*, 0 :::;; h 11 :::;; h , eth est continue par
morceaux, ~ 0, intégrable sur [1 ; + oc[.
D'après le théorème de convergence dominée,
i
+oo
hn~
1
noo
r+oo
Ji h , c'est-à-dire:
l
i
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!o'e-Y
-
dx
- - dy.
]
X
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/3) Soit n E N* .
i n in 1 in f,,(x)
Ona:
gn=
- dx -
- - dx=lnn-1 11 ,
1
] X
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X