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0
c
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0
(V)
ri
0
N
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...._,
..c
Ol
'i:
>0.
0
u
i) • Appliquer le théorème de convergence dominée, sur
[O; + oo[, à (tn: x ~ e- x
2
1sin xln )
n;;;,O
.
7r
- x2
et f : x ~ { e 0
SI
X:: - [rr ] 1
.
2
, la domination étant
smon
,
x2
assuree par

lo
+oo 2
Ceci montre :
e- x lsin x lndx -----* O.
0
noo
Comme:
on conclut :
e- x sinn x dx -----* 0 .
lo
+oo 2
0
noo
Réponse: O.
j ) ] ère méthode :
Appliquer le théorème de convergence dominée, sur [O; +oo[ ,
(
ne-x
2
sin x)
à
fn : x ~
2 2
et f : x ~ 0, la domi1 + n X n;;;,O
1
_2
nation étant assurée par

e- x , puisque, pour tout
n de N et tout x de [O; +oo[ :
If,
nx
e- x2
1 x2
n(x) I::::.;;
: : : : . ; ; - el + n 2x2
2
2 ème méthode :
1
r +oo ne-x2sin x dx l
lo 1 + n 2 x 2
lo
+oo ne-x
2 lsin x1
lo+oo nx
2
::::.;;
dx ::::.;;
e-x dx
o
l + n2x2
o l +n2x2
-l ai i +oo l oi n x i +oo 1
2
-
+
: : : : . ; ;
-~c-=- dx +
- e- x dx
O
1
o 1 + n 2 x2
1
nx
ln (l + n 2 ) 1 li+oo e-x
2
=
+ -
-- dx -----* O.
2n
n J
x
noo
Réponse: O.
k) Appliquer le théorème de convergence dominée, sur
1
sin" x
] - oo; +oo[ , à (tn : x ~ x
0
2
si x i= O )
SI
X= Ü n;;;,3
1
et f: X~ 1 x
0
2
assurée par

si x = ?:. [rr ] 1
.
2
, la domination étant
sinon
1
,; ;? ,; lxl <; 1
-
si lx l > 1
x2
l
+oo Sinn X
On en déduit
- -
2
- dx -----* 0 .
_ 00
x
noo
Réponse: O.
Pour a E]O; +oo[ fi xé, appliquer le théorème de convergence
dominée, sur ]O; l], à ( fn : x ~ xa - l ( 1 - ~ )") n;;;,
1
et
x ~ xa - le- x, la d o min a tion é t a nt ass urée p ar
Appliquer le théorème de convergence dominée, sur ]O; 1],
a fn : x ~ - - -
et f : x ~ 0, la domin ati on
, (
f(x) )
1 + nx n;;;,O
étant assurée par

R éponse: O.
Appliquer le théorème de convergence dominée, sur [- 1; 1],
, (
1
(
x2+(f(x))2 ) 1n )
a f 11 : X ~ cos rr
2
1 + (f (x))
n;;;,O
et X ~ { ~
si X E] - l ; l[
1 (si f (0) -:/= 0 )
si X= - 1 OU X= 1
OU X~ {~
si x E] - 1 ; O[U]O; l[ 1 (si f(O) = O),
si XE {- 1,0,1}
la domination étant assurée par

Réponse: O.
a) Montrer d'abord, pour tout n de N* :
{" j 1 + (1 - :_ )"x ~ , n [' ~ dy.
lo
n Y- 1- ; lo
J ère méthode :
Appliquer ensuite le théorème de convergence dominée sur
[O; l], à (j, 1 : y~ v' î+"?)
11;;;, I
si y E [0; 1 [ l I d . . ,
si Y = 1
a ommation etant assurée par

lo
11 00
2 ème méthode :
b) Montrer d'abord, pour tout n de N* :
1
- - - -----*o.
2(n + 1) noo
f 1 +~ J1 +x 11 dx = ~ f 1 11 + (1 + ~)" dy.
11
y =n(x- 1) n lo V
n
Appliquer ensuite le théorème de convergence dominée, sur
[O; 1], à (tn : y ~ j1 + ( 1 + ~ r)
n
n ;;;, 1