"'O
0
c
:J
0
(V)
..--t
0
N
@
.......
..c
O'l
·;::::
>0..
0
u
2) Par le changement de variable (x,y) r---+ (y ,x) , on a :
1 = - 1, et donc / = O.
Réponse : l existe et l = 0 .
D'abo rd , l'applicatio n f: (x,y) r---+ x Y est continue su r
[O ; l] x [a; b], sauf peut-être en (0,0) , et ;:?: O.
On a:
= r' [ eylnx ] y=b dx = f 1 e blnx - ea lnx dx
l o
ln x y=a
lo
lnx
1
1 xb -xa
=
- - dx.
0
ln x
D'autre part:
{ b ( [1 x Y dx ) dy = { b [~ ]x=I dy
l a
l o
l a Y + l x=O
= { b ~= [ln (y+l)J: = ln (b+ l ) - ln (a+ l ).
l a Y+ 1
On conclut en appliquant le théorème de Fubini.
1
1 x b -xa
b + l
Réponse:
dx = l n - - .
0
ln x
a+ I
a) • Soit x E [O ; 1]. L'application
f(x,·) : y r---+ f(x,y) =ae -axy - be -bxy est intégrable sur
[l ; +oo[, et, six # 0 :
f
+oo
[ a e -axy
be -bxy ] +oo
f(x,y) dy = - - - - -
1
-ax
-bx y= I
e -ax - e - bx
X
e - ax - e - bx
L' application x r---+ - - - - est intégrable sur ]O; l] ,
X
donc l existe, et :
1
1
1 1 e -ax e - bx
1 =
f (x, ·) dx =
dx
0
O
X
1
1 e - ax _ 1
1 1 e - bx _ 1
=
dxdx
o
X
o
X
l
a e -11 - 1
1 b e -v - 1
=
du -
dv
0
U
0
V
l
a e - 11 - 1
=
du.
b
u
• Soit y E [l ; +oo[. L'application
f (-,y) : x r---+ f (x, y) = a e - axy - be - bxy est continue sur
[O ; l] et :
1
1
[ae -axy
be - bxy ]I
f(x,y) dx = - - - - -
o
-ay
- by o
e -by - e - ay
y
e - by - e -ay
L'application y r---+
est intégrable sur [l ; +oo[,
y
donc J existe, et:
f
+oo
f +oo e - by f +oo e -ay
J =
f (-,y) dy =
-
dy -
-
dy
1
1
y
1
y
l
+oo e - 11
1
+00 e -v la e - 11
=
- d u -
- d v =
- d u .
b
U
a
V
b
U
On a donc :
l
a -1
l - J =
- · du= [ - ln u J: = ln b - ln a.
b
u
b) Si f était intégrable sur [O ; l] x [l; +oo[, alors on aurait
l = J , co ntradicti on avec le résultat de b).
Réponse: f n'est pas intégrable sur [O ; l] x [l ; +oo[ .
/ (a)= 1
1
(1
1
lx-y la dx )dy
= 11 (1 Y(y - x)a dx+ il(x - y)adx )dy
= [' ([ - (y-x)a+ i] x=y + [ (x-y)"'+1] .r= l)dy
l o
a + J
.r=O
a + 1
x=y
1
1 ( yet+I
(1 _ y)et+I )
=
- - +
dy
o a+l
a+l
2
= _ l_ [ y"'+2 _ ( 1 _ Y )a+2 ] 1
a + l a +2
a+2
0
(a+ l )(a + 2)
2
Réponse : l (a) = (a+ l )(a + 2 ).
Notons :
11
n
1 11 =
dx dy ,
[O: 1 j2 n + xn + yn
On a, pour tout n E N :
1= 1·r dxdy= l.
l ro: 1J2
lln - l i =
dx dy
11
xn + yn
[O: J]2 n + xn + yn
:s; I'{ ~ dx dy = ~1[0: 11 2 n
n
Il s'ensuit ln - / -----+ 0 , et donc l n -----+ 1 = 1.
1100
1100
Réponse : ln -----+ 1 .
11 00
a) Pui sq ue fi eth so nt croissantes, o n a, pour tou t
(x,y) E [a; b]2 :
(fi (x) - f i (y) )(Jz(x) - fz(y)) ;:?: 0 ,
d 'où, en intégrant sur [a; b]2:
f L:b J
2
(f1(x)-f1(y))(fz(x)-fz(y))dxdy ;:?: O.
0
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2) Par le changement de variable (x,y) r---+ (y ,x) , on a :
1 = - 1, et donc / = O.
Réponse : l existe et l = 0 .
D'abo rd , l'applicatio n f: (x,y) r---+ x Y est continue su r
[O ; l] x [a; b], sauf peut-être en (0,0) , et ;:?: O.
On a:
= r' [ eylnx ] y=b dx = f 1 e blnx - ea lnx dx
l o
ln x y=a
lo
lnx
1
1 xb -xa
=
- - dx.
0
ln x
D'autre part:
{ b ( [1 x Y dx ) dy = { b [~ ]x=I dy
l a
l o
l a Y + l x=O
= { b ~= [ln (y+l)J: = ln (b+ l ) - ln (a+ l ).
l a Y+ 1
On conclut en appliquant le théorème de Fubini.
1
1 x b -xa
b + l
Réponse:
dx = l n - - .
0
ln x
a+ I
a) • Soit x E [O ; 1]. L'application
f(x,·) : y r---+ f(x,y) =ae -axy - be -bxy est intégrable sur
[l ; +oo[, et, six # 0 :
f
+oo
[ a e -axy
be -bxy ] +oo
f(x,y) dy = - - - - -
1
-ax
-bx y= I
e -ax - e - bx
X
e - ax - e - bx
L' application x r---+ - - - - est intégrable sur ]O; l] ,
X
donc l existe, et :
1
1
1 1 e -ax e - bx
1 =
f (x, ·) dx =
dx
0
O
X
1
1 e - ax _ 1
1 1 e - bx _ 1
=
dxdx
o
X
o
X
l
a e -11 - 1
1 b e -v - 1
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du -
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0
V
l
a e - 11 - 1
=
du.
b
u
• Soit y E [l ; +oo[. L'application
f (-,y) : x r---+ f (x, y) = a e - axy - be - bxy est continue sur
[O ; l] et :
1
1
[ae -axy
be - bxy ]I
f(x,y) dx = - - - - -
o
-ay
- by o
e -by - e - ay
y
e - by - e -ay
L'application y r---+
est intégrable sur [l ; +oo[,
y
donc J existe, et:
f
+oo
f +oo e - by f +oo e -ay
J =
f (-,y) dy =
-
dy -
-
dy
1
1
y
1
y
l
+oo e - 11
1
+00 e -v la e - 11
=
- d u -
- d v =
- d u .
b
U
a
V
b
U
On a donc :
l
a -1
l - J =
- · du= [ - ln u J: = ln b - ln a.
b
u
b) Si f était intégrable sur [O ; l] x [l; +oo[, alors on aurait
l = J , co ntradicti on avec le résultat de b).
Réponse: f n'est pas intégrable sur [O ; l] x [l ; +oo[ .
/ (a)= 1
1
(1
1
lx-y la dx )dy
= 11 (1 Y(y - x)a dx+ il(x - y)adx )dy
= [' ([ - (y-x)a+ i] x=y + [ (x-y)"'+1] .r= l)dy
l o
a + J
.r=O
a + 1
x=y
1
1 ( yet+I
(1 _ y)et+I )
=
- - +
dy
o a+l
a+l
2
= _ l_ [ y"'+2 _ ( 1 _ Y )a+2 ] 1
a + l a +2
a+2
0
(a+ l )(a + 2)
2
Réponse : l (a) = (a+ l )(a + 2 ).
Notons :
11
n
1 11 =
dx dy ,
[O: 1 j2 n + xn + yn
On a, pour tout n E N :
1= 1·r dxdy= l.
l ro: 1J2
lln - l i =
dx dy
11
xn + yn
[O: J]2 n + xn + yn
:s; I'{ ~ dx dy = ~1[0: 11 2 n
n
Il s'ensuit ln - / -----+ 0 , et donc l n -----+ 1 = 1.
1100
1100
Réponse : ln -----+ 1 .
11 00
a) Pui sq ue fi eth so nt croissantes, o n a, pour tou t
(x,y) E [a; b]2 :
(fi (x) - f i (y) )(Jz(x) - fz(y)) ;:?: 0 ,
d 'où, en intégrant sur [a; b]2:
f L:b J
2
(f1(x)-f1(y))(fz(x)-fz(y))dxdy ;:?: O.