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0
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0
u
Puis, en développant :
0 ~ 11 f1(x)fi(x)dxdy
[a;bj2
- f L, b
12
J 1(x)fi(y)dx dy
-J law f1(y)fi(x)dxdy
+ f la:bl
2
f1(y)fi(y)dxdy
d'où l'inégalité voulue:
b) Récurrence sur n.
• La propriété est vraie pour n = 1 trivialement.
•La propriété est vraie pour n = 2 d'après a), d'ailleurs sans
l'hypothèse f1 ~ 0, h ~ O.
•Supposons la propriété vraie pour un entier n E N*, et soient
f 1 , • •• .f 11 + 1 : [a ; b] -----')- IR continues, ~ 0, croissantes. On a :
n+l lb ( 11 lb ) lb
D a fk = D a fk a fn+I
~ (b - a)" lb(!] fk).f.,+1 = (b - a)" lb D fk.
ce qui établit la propriété pour n + 1.
y
4
0
4
X
- 4
On applique le théorème de Fubini :
I
O ~x~ 4
-J4 - X~ y~ J4 - X {::::::::} 1
-2 ~y~ 2
0 ~ X ~ 4- y
2 ,
1
2 (14-y
2
1
)
l=
dx ~
- 2
0
J 20+ 12y- y3
1
2
4- y2
=
dy
- 2 J 20 + 12y - y 3
[
2
]
2
2
8
= -J20+12y -y3 =-(J36-v'4)=-.
3
- 2
3
3
,
8
Reponse: -.
3
y
0
On applique le théorème de Fubini :
I
O ~y~ l
IO ~x~ l
y~ X~ 1 {::::::::} 0 ~y~ X,
X
t ( r x y )
f 1 X X
2
1 = Jo Jo Ji+ x 4 dy dx = Jo J x 4 + 1 2 dx
1 f 1 x3
1 12 du
= l Jo .Jî+X4 dx [u=~x 4 ] S 1 y'u
J2-1
Réponse:
4
0
X
On applique le théorème de Fubini :
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