"'O
0
c
::J
0
(V)
ri
0
N
@
...._,
..c
Ol
'i:
>0.
0
u
d'où:
X - ~ - _ b_ y y= fa f
- .fa FaD '
'./15 .
Le jacobien est donné par :
1
l=
Ja
0
donc J est une constante.
b
FaD
l
.Jij'
D'après l'exemple du § 3.6.2 2), l' application
g : (X, Y) 1---+ e - x
2
-Y
2 est intégrable sur IR 2 , donc f est intégrable sur IR
2 et :
! .{ f = 1/'f g(X,Y)dXdY
}IR2
}IR2
=41/'f
g(X,Y)dXdY
l ro:+oor
En passant en polaires :
! . { g(X, Y) dX dY = (" r+
00
e -p
2 p dp de
lro :+oor2
}_" lo
= 2n
- e - u du = n
1
+00 1
,
4JT
Reponse : ---;::==:;:
.Jac - b 2
Notons, pour R > 0 :
0
2
DR= ICx,y ) E [O;+oo[2; x 2 +y2 ~ R
2 } ,
LlR = [0; R]
2 ,
y
Rfi
R
0
Il est clair que :
IR= fi. f a,
JR =fi. fa.
R Rfi
V R > 0 , DR/./i c LlR c DR ,
d'où, puisque f a ~ 0 :
IR/./i ~ JR ~ IR.
X
En passant en coordonnées polaires :
-( (fde)( {R p d)
- Jo
Jo (1 + P 2 )a p
1T 1 r
1
du
[u:;,2J 2 2 Jo - (l_+ _ u_)_"
Si a ~ 1, alors
IR ----+ +oo , donc
aussi
R--> +oo
l R/./i ----+ +oo , puis, par minoration J R ----+ +oo , et
R --. +oo
R --. +oo
donc f a n'est pas intégrable sur [0 ; +oo[
2 .
Si a > l , alors :
1T [ ( 1 + U ) -a+ 1 ] R2
IR= -
4
-a+ 1 0
1T
Comme J R ~ l R ~
, il en résulte que f est intégrable
4(a - 1)
sur [O ; +00[2, puisque, pour tous segments J , J ' inclus dans
[0 ; +oo[, il existe R > 0 tel que J x J ' C LlR.
De plus, IR ----+
n
, d 'où, par encadrement:
R --. +oo 4(a - l)
JT
JR ---7
.
R --. +oo 4(a - 1)
Réponse : fa est intégrable sur [O ; +oo[
2 si et seulement si
a > l , et on a alors :
!1
JT
f a =
·
[0:+00[2
4(a - 1)
1) On a, pour tout (x,y ) E [l ; +oo[
2 :
l ln ~I = l lny - lnx l ~ l ln yl + l lnx l
= lny+ lnx ~ x+y.
D'où:
ln~
1
lf(x, y)I =
x
~ - - -
(x + y)4
(x + y) 3 .
1
. ,
Soit x E [l; +oo [. L'application y 1---+
3
, est mte(x +y)
grable sur [l ; +oo[ et :
l
+oo
1
[
1
]+oo
- - - d y - - - - -
1
(x + y)3
-
2(x + y) 2 y= I
2(x + 1)2 ·
1
L'application x 1---+
2
est intégrable sur [l ; +oo[.
2(x + 1)
1
On conclut que (x,y) 1---+
3
est intégrable sur
(x +y)
[1 ; +oo[
2 , puis, par théorème de majoration, que l'application
proposée est intégrable sur [l; +oo[
2 .
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0
c
::J
0
(V)
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...._,
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X - ~ - _ b_ y y= fa f
- .fa FaD '
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Le jacobien est donné par :
1
l=
Ja
0
donc J est une constante.
b
FaD
l
.Jij'
D'après l'exemple du § 3.6.2 2), l' application
g : (X, Y) 1---+ e - x
2
-Y
2 est intégrable sur IR 2 , donc f est intégrable sur IR
2 et :
! .{ f = 1/'f g(X,Y)dXdY
}IR2
}IR2
=41/'f
g(X,Y)dXdY
l ro:+oor
En passant en polaires :
! . { g(X, Y) dX dY = (" r+
00
e -p
2 p dp de
lro :+oor2
}_" lo
= 2n
- e - u du = n
1
+00 1
,
4JT
Reponse : ---;::==:;:
.Jac - b 2
Notons, pour R > 0 :
0
2
DR= ICx,y ) E [O;+oo[2; x 2 +y2 ~ R
2 } ,
LlR = [0; R]
2 ,
y
Rfi
R
0
Il est clair que :
IR= fi. f a,
JR =fi. fa.
R Rfi
V R > 0 , DR/./i c LlR c DR ,
d'où, puisque f a ~ 0 :
IR/./i ~ JR ~ IR.
X
En passant en coordonnées polaires :
-( (fde)( {R p d)
- Jo
Jo (1 + P 2 )a p
1T 1 r
1
du
[u:;,2J 2 2 Jo - (l_+ _ u_)_"
Si a ~ 1, alors
IR ----+ +oo , donc
aussi
R--> +oo
l R/./i ----+ +oo , puis, par minoration J R ----+ +oo , et
R --. +oo
R --. +oo
donc f a n'est pas intégrable sur [0 ; +oo[
2 .
Si a > l , alors :
1T [ ( 1 + U ) -a+ 1 ] R2
IR= -
4
-a+ 1 0
1T
Comme J R ~ l R ~
, il en résulte que f est intégrable
4(a - 1)
sur [O ; +00[2, puisque, pour tous segments J , J ' inclus dans
[0 ; +oo[, il existe R > 0 tel que J x J ' C LlR.
De plus, IR ----+
n
, d 'où, par encadrement:
R --. +oo 4(a - l)
JT
JR ---7
.
R --. +oo 4(a - 1)
Réponse : fa est intégrable sur [O ; +oo[
2 si et seulement si
a > l , et on a alors :
!1
JT
f a =
·
[0:+00[2
4(a - 1)
1) On a, pour tout (x,y ) E [l ; +oo[
2 :
l ln ~I = l lny - lnx l ~ l ln yl + l lnx l
= lny+ lnx ~ x+y.
D'où:
ln~
1
lf(x, y)I =
x
~ - - -
(x + y)4
(x + y) 3 .
1
. ,
Soit x E [l; +oo [. L'application y 1---+
3
, est mte(x +y)
grable sur [l ; +oo[ et :
l
+oo
1
[
1
]+oo
- - - d y - - - - -
1
(x + y)3
-
2(x + y) 2 y= I
2(x + 1)2 ·
1
L'application x 1---+
2
est intégrable sur [l ; +oo[.
2(x + 1)
1
On conclut que (x,y) 1---+
3
est intégrable sur
(x +y)
[1 ; +oo[
2 , puis, par théorème de majoration, que l'application
proposée est intégrable sur [l; +oo[
2 .
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