"'O
0
c
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0
(V)
..--t
0
N
@
.......
..c
O'l
·;::::
>0..
0
u
D'après une extension du théorème de dérivation sous le signe
f on en déduit :
aG
. ,
•Pour tout x de ]O; +oo[ , - (x, ·) est mtegrable sur ]O; +oo[
ax
• g : ]O; +oo[-----+ IR est de classe C 1 sur ]0; +oo[ et :
xr---+ Jt'
0
G(x ,t)dt
'Vx E]Ü; +oo[, g'(x) = fo+oo e- xtsint dt.
Et, pour tout x de ]0; +oo[ :
g'(x)= lm
e-x
1 e
11 dt =lm
.
(lo
+oo
. )
[e(-x+i)t ]+oo
0
-x + 1 0
=lm(x~i) = l:x2'
1
puis: .f'(x) = g'(x) = - -
2
.
l+x
f3) En intégrant le résultat de o:), il existe C E IR tel que:
'Vx E]O; +oo[, f (x) = Arctanx + C.
c) a) D'après les théorè mes généraux, A est de classe c 1 sur
]O; +oo[.
1
- 1
-e
Et, comme A(t) = - - - -----+ 1 = A(O) , A est continue
t
1-->0
en O.
B(t )
On a, pour tout t de ]O; +oo[, A' (t) = - 2
- ,
t
où B (t) = (1 + t)e1 - 1.
L'étude des variations de B (on a: B ' (t) = -te1 < 0 ) montre
que Best strictement décroissante ; comme B(O+) = 0, on
en déduit: 'Vt E]O; +oo[, B(t) < 0 , et donc: 'Vt E]O; +oo[,
A' (t) < O.
{3) Soit x E]O; +oo[. Par le changement de variable u = xt :
lo
+oo 1 - e- 11
u
f (x) =
sin - du
0
U
X
lo
+oo
u
=
A(u) sin - du.
0
X
On obtient, à J'aide d'une intégration par parties, pour tout U
de [0; +oo[ :
!o
u
u
A(u) cos - du
0
X
u
/ou
u
= x - xA(U)cos - + x
A'(u) cos - du .
X
0
X
u
D'une part: xA(U)cos - -------+ 0 , car A(U)-------+ O.
X U-->+oo
U--> +oo
D'autre part, comme A' ~ 0 :
lfo u A'(u)cos ~ du l ~ fou ( - A'(u)) lcos ~I du
~ fou - (A'(u ))du = 1 - A(U).
On en déduit, en fai sant tendre U vers +oo :
0 ~ f (x) - f(O) = f (x)
lo
+oo
u
=
A(u)cos - du ~ 2x.
0
X
y) D'après f3),
f (x) - f (0) -----+ 0, donc f est continue en O.
x->0
D'après b) f3), on a alors C = 0.
8) On a, pour tout x de ]O; +oo[ :
lo
+oo
.
1
~
e - .>.tdt = -
0
X
lo
+oo sin t
donc f (x) ------+
-
dt.
x->+oo o
t
7r
D 'autre part: f(x) = Arctanx------+ - .
x->+oo 2
On conclut :
- - dt = - .
lo
+oo sin t
n
0
t
2
d) l ) Changement de variable u = at lorsque a > 0.
lo
+oo sino:t
n
Réponse:
- - dt= - sgn(o: ),
0
t
2
1
- 1
où sgn(o:) =
~
si a < 0
si a= o.
si a > 0
2) Pour a > 0 , intégrer convenablement par parties :
lo
+oo sin at
- - d t
0
t
= [1 -coso:t ] +oo + 2_ r+
00 1 -coso:t dt .
a t
o
a lo
12
lo
+oo 1 - cosat
na
niai
Réponse:
2
dt= -
sgn(o: ) = - - .
0
t
2
2
3) Intégrer par parties :
lo
+oo 1 - cost
_ [t -sint]+oo lo +oo t - sint
2
dt -
2
+ 2
3
dt.
0
t
t
0
0
t
lo
+oo t - sin t
n
Réponse:
3
dt = - .
0
t
4
(
sint)
2
4) -
t
1 - cos2t
2t 2
et 2) avec a = 2 .
Réponse:
5) Linéariser :
sin at sin bt
t2
7r
dt= -
2·
1 - cos(a + b)t
2t2
1 - cos(a - b )t
2t2
lo
+oo sin at sin bt
n
Réponse:
2
dt= - (la+b l-la-bl).
0
t
4