"'O
0
c
::J
0
(V)
ri
0
N
@
...._,
..c
Ol
'i:
>0.
0
u
6) Linéariser:
1 - cosat cosbt
t2
1 - cos(a + b)t
1 - cos(a - b)t
---~-- + ---~-2t2
2t2
Réponse:
l o
+oo 1 - cos at cos bt
n
2
dt= - (la+bl+la-bl).
0
t
4
a) Soitx E R L'application t i---+ ta-l e- 1 eixt est continue sur
[O; +oo[ et, pour toutt de [O; +oo[, lta- l e- 1 eixi1 = ta - l e- 1 ,
donc t i---+ t 11 - 1 e - 1 eixt est intégrable sur [O; +oo[ (cf. aussi
la définition de la fonction r, 3.5.3 p. 200).
b) Notons F: IR x]O; +oo[---+ C.
(x,t)~r a- le-teixt
• Pour tout x E IR, F (x , ·) est intégrable sur ]O ; +oo [.
aF
.
• -
: (x ,t) i---+ i tae -
1 e•xt est définie sur IRx]O ; +oo[,
ax
continue par rapport à x, continue par morceaux (car continue)
par rapport à t .
aF
• ax vérifie HD sur IRx]O; +oo[ car, en notant
'!/; : ]O; +oo[---+ IR,'!/; est continue, ~ 0, intégrable sur
t~t a e- 1
]O; +oo[, et :
'V(x,t) E IR x]O; +oo[, 1 ~~ (x ,t) I ~ 1/J(t) .
D'après le théorème de dérivation sous le signe /, , on en déduit:
aF
• Pour tout x de IR , - (x , ·) est intégrable sur ]0; +oo[
ax
• f 11 est de classe C 1 sur IR et :
r +oo
.
'Vx E IR, f~(x) = i Jo t
11 e1 e
1
x
1 dt.
c) •Soit x E R On obtient, à l'aide d'une intégration par
parties, pour tout (s ,T) tel que 0 < s < T :
[T tae(-l +ix)tdt
=
.
+ - -.ata - le(- l+u )tdt,
[
t ae(-l +ix)r ] T
1 1T
. ..
-l+u:
B
1-IX B
d'où, en faisant tendre s vers 0 et T vers +oo :
r +oo tae- teixt dt= _ a __ _ r +oo ta- le- reixrdt,
lo
1 - u: lo
puis, en utilisant b): -(i + x)f~(x) = afa(x).
•Par résolution de l'équation différentielle obtenue, on a, pour
tout x de IR :
fa(x) = f 11 (0)exp (-a r ~)
Jo s+ 1
= r(a)exp (-~ ln (x
2 + 1) +ai Arctan X)
= r(a)(x2+1)-2 eaiArctanx.
1
d) En remplaçant a par 2 :
- -dt= fi (x) = r .:._ (x2 + 1)- 4e2Atctanx.
l o
+oo e- 1 eix1
( 1)
1
i
.
0
-fi
2
2
On a, pour tout X de IR , en notant 8 = Arctanx:
8
. 2 8
l
cos 2
2
+ sm 2
= 1
28
. 28
1
cos 2 -sm 2 =cos8 =Ji +x 2
8
1 Jf1+72,+1
cos- = -
- - - - - -
2
.J2 (1 +x2)1 / 4
d'où:
. e i Jf1+72, -1
et sm - = r,;
2 114
, et finalement :
2
v2 (l+x)
•L'application F : IR x [O ; n / 2] -----+ C est continue par rap(t ,u) t-----* e i t sinu
port à t, continue par morceaux (car continue) par rapport à u,
et vérifie HD car :
'V(t,u) E IR x [o ; ~l IF(t,u)I = 1
et lapplication constante 1 e st intégrable sur le segment
[o; ~J.
D'après le théorème de continuité sous le signe 1 ~. l'application J est continue sur R
De plus, J est bornée :
l o
Î
Jr
'Vt E IR, ll(t)I ~
du= - .
0
2
Il en résulte que t i---+ J(t)e-xr est intégrable sur [O; +oo[,
pour tout x de ]O; +oo[ fixé .
• On a, pour x E]O; +oo[ et T E [O; +oo[ :
T
T
rr
Io J(t)e-xtdt =Io (foI ei1sinue- x1du )dt
!!
T
= Io 2 (Io e
I 1 _ e- (x- isin11)T
=
du
o
x - i sinu
'
en utilisant le théorème de Fubini.
1 609
0
c
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0
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1 - cosat cosbt
t2
1 - cos(a + b)t
1 - cos(a - b)t
---~-- + ---~-2t2
2t2
Réponse:
l o
+oo 1 - cos at cos bt
n
2
dt= - (la+bl+la-bl).
0
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4
a) Soitx E R L'application t i---+ ta-l e- 1 eixt est continue sur
[O; +oo[ et, pour toutt de [O; +oo[, lta- l e- 1 eixi1 = ta - l e- 1 ,
donc t i---+ t 11 - 1 e - 1 eixt est intégrable sur [O; +oo[ (cf. aussi
la définition de la fonction r, 3.5.3 p. 200).
b) Notons F: IR x]O; +oo[---+ C.
(x,t)~r a- le-teixt
• Pour tout x E IR, F (x , ·) est intégrable sur ]O ; +oo [.
aF
.
• -
: (x ,t) i---+ i tae -
1 e•xt est définie sur IRx]O ; +oo[,
ax
continue par rapport à x, continue par morceaux (car continue)
par rapport à t .
aF
• ax vérifie HD sur IRx]O; +oo[ car, en notant
'!/; : ]O; +oo[---+ IR,'!/; est continue, ~ 0, intégrable sur
t~t a e- 1
]O; +oo[, et :
'V(x,t) E IR x]O; +oo[, 1 ~~ (x ,t) I ~ 1/J(t) .
D'après le théorème de dérivation sous le signe /, , on en déduit:
aF
• Pour tout x de IR , - (x , ·) est intégrable sur ]0; +oo[
ax
• f 11 est de classe C 1 sur IR et :
r +oo
.
'Vx E IR, f~(x) = i Jo t
11 e1 e
1
x
1 dt.
c) •Soit x E R On obtient, à l'aide d'une intégration par
parties, pour tout (s ,T) tel que 0 < s < T :
[T tae(-l +ix)tdt
=
.
+ - -.ata - le(- l+u )tdt,
[
t ae(-l +ix)r ] T
1 1T
. ..
-l+u:
B
1-IX B
d'où, en faisant tendre s vers 0 et T vers +oo :
r +oo tae- teixt dt= _ a __ _ r +oo ta- le- reixrdt,
lo
1 - u: lo
puis, en utilisant b): -(i + x)f~(x) = afa(x).
•Par résolution de l'équation différentielle obtenue, on a, pour
tout x de IR :
fa(x) = f 11 (0)exp (-a r ~)
Jo s+ 1
= r(a)exp (-~ ln (x
2 + 1) +ai Arctan X)
= r(a)(x2+1)-2 eaiArctanx.
1
d) En remplaçant a par 2 :
- -dt= fi (x) = r .:._ (x2 + 1)- 4e2Atctanx.
l o
+oo e- 1 eix1
( 1)
1
i
.
0
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2
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On a, pour tout X de IR , en notant 8 = Arctanx:
8
. 2 8
l
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2
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= 1
28
. 28
1
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8
1 Jf1+72,+1
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- - - - - -
2
.J2 (1 +x2)1 / 4
d'où:
. e i Jf1+72, -1
et sm - = r,;
2 114
, et finalement :
2
v2 (l+x)
•L'application F : IR x [O ; n / 2] -----+ C est continue par rap(t ,u) t-----* e i t sinu
port à t, continue par morceaux (car continue) par rapport à u,
et vérifie HD car :
'V(t,u) E IR x [o ; ~l IF(t,u)I = 1
et lapplication constante 1 e st intégrable sur le segment
[o; ~J.
D'après le théorème de continuité sous le signe 1 ~. l'application J est continue sur R
De plus, J est bornée :
l o
Î
Jr
'Vt E IR, ll(t)I ~
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2
Il en résulte que t i---+ J(t)e-xr est intégrable sur [O; +oo[,
pour tout x de ]O; +oo[ fixé .
• On a, pour x E]O; +oo[ et T E [O; +oo[ :
T
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rr
Io J(t)e-xtdt =Io (foI ei1sinue- x1du )dt
!!
T
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I 1 _ e- (x- isin11)T
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en utilisant le théorème de Fubini.
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