"'O
0
c
::J
0
(V)
ri
0
N
@
...._,
..c
Ol
'i:
>0.
0
u
La même argumentation s'applique à
!o
+oo cos(xt)
k : x r----+
2 2
dt, et montre que k est de classe C 1
0
(l + t )
sur [O; +oo[ et que :
!o
+oo t sin(xt)
Vx E [O; +oo[, k'(x) = -
2 2
dt= -h(x)
o O+t)
d) De b) et c ), on déduit que f est de classe C
2 sur ]0; +oo[
et que, successivement: Vx EJO; +oo[,
xf'(x) + f(x) = 2h' (x) = 2f(x) -2k(x),
Vx EJO; +oo[, xf' (x) = f (x) - 2k(x) ,
Vx E]O; +oo[, xf"(x) = -2k'(x) = 2h(x) = xf(x) ,
d'où finalement: Vx EJO; +oo[, f"(x) = f(x).
e) 1) La résolution de l'équation différentielle apparue ci-dessus montre qu'il existe (À ,µ) E IR 2 tel que :
Vx E]O; +oo[,f(x) =À.ex+ µe-x.
r +oo
Le théorème de continuité sous le signe Jo permet encore
de montrer que f est continue sur IR , donc en 0, d'où :
Vx E [O; +oo[, f (x) = Àe + µe-x.
r + 00 dt
rr
Comme: Vx E [O; +oo[, lf(x)I ~ Jo 1
+ t 2 = 2'
f est bornée, donc À = 0.
!o
+oo dt
rr
rr
Et, comme f (0) =
- -
2
= - , on obtient µ = - .
0
l+t
2
2
lC
Ainsi : Vx E [0; +oo[, f (x) = 2
e-x.
Enfin, comme f est paire, on conclut :
Vx E IR , f (x) - ~ e -lxl
- 2
.
y
0
2) Une intégration par parties fournit, pour
x EJO; +oo[ et T E [0; +oo[ :
Y = f (x)
X
!o
r t sin(xt)
T cos(xT) !or (1 - t 2 )cos(xt)
- - - dt = -
+
dt ,
o 1 + t 2
x(l + T 2 )
o x(l + t 2 ) 2
d'où, en faisant tendre T vers +oo :
- r + 00 (1 - t 2 )cos(xt)
xg(x) - Jo
(1 + t2)2 dt
= r +oo ( 2 - (1 + t
2 ) )cos(xt) dt
lo
(1 + t2)2
et ainsi :
= 2k(x) - f(x) = f(x) - 2h'(x)
= -xf'(x) ,
Vx EJO; +oo[, g(x) = -f'(x) = ~ e- x.
Comme g(O) = 0 et que g est impaire, on conclut:
lC
-x
si
g(x) ~ { 2 ~ si
][
X
si
- - e
2
Vx E IR, g(x) = ~ sgn(x) e-lxl.
y
:n:
2
X > 0
x=O , ou encore:
X < 0
y = g (x)
X
l - e- xt
a) Soit x E [O; +oo[. L'application t r----+
sin t est
l - e- xt
continue sur JO; +oo[,
sin t ---+ 0
comme
1-> Ü
1 - e - xt
sint
sint
.
- - - sin t = -
- -
e-H, que l'intégrale impropre
t
t
t
li
-> +oo sin!
sint
-
dt converge, et que (six > 0) t r----+ -
e - xt
1
t
t
est intégrable sur [l ; +oo[, l'intégrale impropre
!o
-> +oo l _ e-xt
- - - sin t dt converge.
0
t
b) a) Remarquons :
!o
+oo sin t
J +oo e- xr sin t
Vx E]O; +oo[,f(x) =
-
dt -
dt,
0
t
0
t
et notons C: JO; +oo[x]O; +oo[----+ IR.
- x t ·
(x,t)t-+~
•Pour tout x E JO ; +oo[, C (x, ·) est intégrable sur JO ; +oo[.
ac
-
: (x ,t) r----+ - e - x i sin t
ax
est
définie
sur
JO ; +oo[ x JO ; +oo[, continue par rapport à x, continue par
morceaux (car continue) par rapport à t.
ac
• -
vérifie HD locale sur JO; +oo[xJO; +oo[ car, pour tout
ax
a de ]O; +oo[, en notant 'Pa : JO; +oo[----+ IR, 'Pa est continue,
ti-+e-at
~ 0, intégrable sur JO; +oo[ , et :
V(x,t) E [a; +oo[xJO; +oo[, 1 ~~ (x,t)I ~
0
c
::J
0
(V)
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Ol
'i:
>0.
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u
La même argumentation s'applique à
!o
+oo cos(xt)
k : x r----+
2 2
dt, et montre que k est de classe C 1
0
(l + t )
sur [O; +oo[ et que :
!o
+oo t sin(xt)
Vx E [O; +oo[, k'(x) = -
2 2
dt= -h(x)
o O+t)
d) De b) et c ), on déduit que f est de classe C
2 sur ]0; +oo[
et que, successivement: Vx EJO; +oo[,
xf'(x) + f(x) = 2h' (x) = 2f(x) -2k(x),
Vx EJO; +oo[, xf' (x) = f (x) - 2k(x) ,
Vx E]O; +oo[, xf"(x) = -2k'(x) = 2h(x) = xf(x) ,
d'où finalement: Vx EJO; +oo[, f"(x) = f(x).
e) 1) La résolution de l'équation différentielle apparue ci-dessus montre qu'il existe (À ,µ) E IR 2 tel que :
Vx E]O; +oo[,f(x) =À.ex+ µe-x.
r +oo
Le théorème de continuité sous le signe Jo permet encore
de montrer que f est continue sur IR , donc en 0, d'où :
Vx E [O; +oo[, f (x) = Àe + µe-x.
r + 00 dt
rr
Comme: Vx E [O; +oo[, lf(x)I ~ Jo 1
+ t 2 = 2'
f est bornée, donc À = 0.
!o
+oo dt
rr
rr
Et, comme f (0) =
- -
2
= - , on obtient µ = - .
0
l+t
2
2
lC
Ainsi : Vx E [0; +oo[, f (x) = 2
e-x.
Enfin, comme f est paire, on conclut :
Vx E IR , f (x) - ~ e -lxl
- 2
.
y
0
2) Une intégration par parties fournit, pour
x EJO; +oo[ et T E [0; +oo[ :
Y = f (x)
X
!o
r t sin(xt)
T cos(xT) !or (1 - t 2 )cos(xt)
- - - dt = -
+
dt ,
o 1 + t 2
x(l + T 2 )
o x(l + t 2 ) 2
d'où, en faisant tendre T vers +oo :
- r + 00 (1 - t 2 )cos(xt)
xg(x) - Jo
(1 + t2)2 dt
= r +oo ( 2 - (1 + t
2 ) )cos(xt) dt
lo
(1 + t2)2
et ainsi :
= 2k(x) - f(x) = f(x) - 2h'(x)
= -xf'(x) ,
Vx EJO; +oo[, g(x) = -f'(x) = ~ e- x.
Comme g(O) = 0 et que g est impaire, on conclut:
lC
-x
si
g(x) ~ { 2 ~ si
][
X
si
- - e
2
Vx E IR, g(x) = ~ sgn(x) e-lxl.
y
:n:
2
X > 0
x=O , ou encore:
X < 0
y = g (x)
X
l - e- xt
a) Soit x E [O; +oo[. L'application t r----+
sin t est
l - e- xt
continue sur JO; +oo[,
sin t ---+ 0
comme
1-> Ü
1 - e - xt
sint
sint
.
- - - sin t = -
- -
e-H, que l'intégrale impropre
t
t
t
li
-> +oo sin!
sint
-
dt converge, et que (six > 0) t r----+ -
e - xt
1
t
t
est intégrable sur [l ; +oo[, l'intégrale impropre
!o
-> +oo l _ e-xt
- - - sin t dt converge.
0
t
b) a) Remarquons :
!o
+oo sin t
J +oo e- xr sin t
Vx E]O; +oo[,f(x) =
-
dt -
dt,
0
t
0
t
et notons C: JO; +oo[x]O; +oo[----+ IR.
- x t ·
(x,t)t-+~
•Pour tout x E JO ; +oo[, C (x, ·) est intégrable sur JO ; +oo[.
ac
-
: (x ,t) r----+ - e - x i sin t
ax
est
définie
sur
JO ; +oo[ x JO ; +oo[, continue par rapport à x, continue par
morceaux (car continue) par rapport à t.
ac
• -
vérifie HD locale sur JO; +oo[xJO; +oo[ car, pour tout
ax
a de ]O; +oo[, en notant 'Pa : JO; +oo[----+ IR, 'Pa est continue,
ti-+e-at
~ 0, intégrable sur JO; +oo[ , et :
V(x,t) E [a; +oo[xJO; +oo[, 1 ~~ (x,t)I ~