"'O
0
c
::J
0
(V)
ri
0
N
@
...._,
..c
Ol
'i:
>0.
0
u
0 :::::; f(x) :::::; rrr ../x + 1 dt
X
lo
X
X
----+ O.
x-----++oo
Ainsi, (Cf) admet une branche parabolique de direction asymptotique (x
1
x).
Concavité
En appliquant encore le théorème de dérivation sous le signe
1", l'application f est de classe c 2 sur] 1; +oo[ et :
'V X E]l; +oo[, J"(x) = -~ r dt 3 < O.
4 Jo (x+cost) ï
y
21.fi
0
1
1) Notons F : IR x [0 ; rr] ----+ IR.
(x ,t) t---+ cos (x sin t)
X
Pour tout x E IR, F (x , ·) est intégrable sur [O ; TC] , car F (x , ·)
est continue sur ce segment.
aF
L' application -
: (x ,t) t---+ - sin (x sin t) sin t est définie
ax
sur IR x [O ; rr], continue par rapport à x , continue par morceaux
(car continue) par rapport à t, et vérifie HD car:
'V(x,t) E IR x [0 ; rr],
I~~ (x ,t) I = l sin(xsint)sint l:::;; l
et la constante 1 est intégrable sur le segment [O ; rr].
D ' après le théorème de dérivation sous le signe 1"· l' application Io est de classe C
1 sur IR et:
1 lorr aF
'V x E IR, I 0 (x) = -
- (x ,t) dt
rr 0 ax
] lorr
= -
-sin(xsin t)sin t dt.
rr 0
En particulier : 'V x E]O; rr [, I 0
(x) < 0,
et donc Io est strictement décroissante sur [O; rr].
2) Io est continue sur [O; rr] et lo(O) = 1. Il reste donc à prouver Io(rr) < 0.
On a:
] lorr
Io(TC) = -
cos (TC sin t)d t
TC 0
= 2_ f Î cos(TCsint)dt + 2_ r cos(rrsint)dt
rr lo
rr J Î
2 l a Î
21
1 cos rr y
= -
cos(rrsin t) dt =: -
~ dy,
TC 0
y=Sln t TC 0 y l - y2
intégrale d'une fonction intégrable sur [O; 1 [.
2
Onadoncio(rr) = - (A- B),où
rr
Io
1 cos rr y
1
1 -cosrry
A=
~ dy > 0 et B =
~ dy > O.
0 v l - y 2
~ v l - y 2
Io
1 cos rrz
Comme B -
dz , on obtient :
z=l-y o J1 - (1 - z)2
1
A - B = {
2
cosrr y (;b - l ) dy.
lo
1 - y2
J2y - y2
l
Enfin, pout tout y de ]O; 2
[: cosrry > 0
et 2y - y2 < l - y 2 , d'où A - B < 0, Io(rr) < O.
a) On remarque:
'Vx E / , f(x) = r f
1 (t)dt
lxo
= fo
1
(x - xo)f'cxo +(x -xo)u)du.
Considérons donc g : 1 ----+ E définie par :
VxEI , g(x)= fo
1
f'(xo+(x-xo)u)du.
En notant F: (x ,u) t---+ f'(x 0 + (x - x 0 )u) , il est clair que
aF
an- IF
F , - , ... , - -
1
existent sur 1 x [0 ; l], sont continues par
ax
ax 11 -
rapport à x, continues par morceaux (car continues) par rapa"- 1 F
port à u , et - -
1
vérifie HD car:
ax 11 -
V(x ,u) E 1 X [0 ; l],
et l'application constante 11 J<
11
) l loo est intégrable sur le segment
[0 ; 1].
D'après un corollaire du théorème de dérivation sous le signe
1
1
, l' application g est de classe c n- I sur 1 et :
V p E {0, ... ,n-1},Vx E J ,
g 1 599