-0
0
c
:J
0
(V)
..--t
0
N
@
.......
..c
O'l
·;::::
>0..
0
u
600 1
b) V'p E (0, ... ,n - 1}, "lx E / ,
llg
1
uP du= p ~
1
ll f (p+l)l loo·
1) et 2) : évidents.
3): On a f (0) = 0 et, pour tout x de ]O; +oo[,
r+oo
[
] +oo
f (x) = Jo xe- xr dt = - e - xr
0
= 1 ,
donc f n'est pas continue e n O.
a) Notons F : lR x [O; +oo[----+ lR .
(x,t ) ~ e1
\ h2x t
• Pour tout x E IR, F (x ,·) est intégrable sur [0 ; +oo[, car
F (x, ·) est continue sur [O ; +oo[ et :
2
2
e 2xt + e -2xt
t 2 F(x,t) = t 2 e _, ch (2xt ) = t 2 e _,
2
l 2 - t 2 +2xt
- t e
----+ O.
1 ---+ +oo 2
/ ----. +oo
aF
2
-
: (x,t) ~ 2t e _, sh (2xt )
es t
définie
s ur
ax
IR x [0 ; +oo[, continue par rapport à x , continue par morceaux
(car continue) par rapport à t.
aF
• -
vérifie HD locale sur lR x [O; +oo[ car, pour tout a de
ax
[O; +oo[, e n notant 't/Ja : [O; +oo[----+ IR , 't/Ja est continue,;:::, 0 ,
t1-->21e- 12 sh 2at
intégrable sur [O; +oo[ et :
V'(x,t) E [-a; a ] x [O; +oo[, 1 ~; (x ,t) I :::::; 't/Ja(t ).
D'après une extension du théorème de dérivation sous le signe
f , on déduit :
aF
•Pour tout x de IR , - (x ,.) est intégrables sur [O; +oo[
ax
• L'application f: IR ----+ IR
est de classe C
1 sur
r+oo
2
X I--> Jo
e- 1 ch 2xt dt
IR e t :
r +oo
2
V'x E IR, f'(x) = Jo 2te1 sh 2xt dt.
E n utilisant une intégration par parties, on a :
V'x E IR, V'T E [0; +oo[, fo T 2te12 sh 2xt dt
= -e7 2 sh2x T + 2x foT e -
1
\ h2x t dt ,
d'où, e n passant aux limites quand T tend vers +oo :
V'x E IR, J'(x ) = 2xf(x).
b) Par résolution de l'équation différentielle obte nue e n
a), il existe À E IR tel que :
2
V'x E IR, f (x) = Àex .
Io
+oo 2
,,/ii
Et: À = f(O) =
e - r dt= -
(intégrale de Gauss):
0
2
Remarque
Un calcul plus simple et direct était possible.
1 l +oo
2
On a d'abord , par parité: f(x) = -
e- 1 ch 2xt dt.
2 - OO
Puis:
f (x) = -
e- 1 (e2xt + e - 2xr)dt
11+ 00 2 .
4 -OO
1 l +oo -(t-r)2+x2
1 l +oo -(t+x)2+,-2
= -
e
·
dt + -
e
· dt
4 - OO
4 - OO
l x2 1 +00 -112
1 x2 1 +00 -v2
,,Jii x2
= - e
e
du + - e
e
d v = - e .
4
- OO
4
- OO
2
1) Il est clair que, pour tout z de C, l'application t ~ e12
ez
1
est continue et intégrable sur IR .
Soit z E C ; notons x = Ré(z), y = Im(z) . On a:
x2 +ixy 1 +00
2 .
= e 4 2
e- u e
1
Y"du .
- OO
1
+00
2 .
JI suffit donc de calculer - oo e -
1 e
1
Y
1 dt , pour y E IR .
2) Notons F : lR x IR ----+ C .
(y ,t)1-->e -12+iy1
• Pour tout y E IR, F (y, ·) est intégrable sur IR, car F (y, ·) est
continue sur lR et :
t2 F(y, t) = t 2e _ ,2+i 1y ----+ O.
t ~ ±oo
aF
, .
• -
: (y,t) ~ i t e_
1
-+
1 Y
1 est définie sur IR 2 , continue par
ay
rapport à y, continue par morceaux (car continue) par rapport
à t .
aF
• - vérifie HD car, e n notant ·tf; : IR ----+ IR , ·tf; est continue,
ay
Il--> itle- 12
;:::, 0 , intégrable sur lR et :
V(y,t) E IR
2 , 1 ~; (y, t) I = 't/J(t).
D'après le théorème de dérivation sous le signe f , on déduit :
aF
• Pour tout y de IR, - (y,· ) est intégrable sur IR
ay
0
c
:J
0
(V)
..--t
0
N
@
.......
..c
O'l
·;::::
>0..
0
u
600 1
b) V'p E (0, ... ,n - 1}, "lx E / ,
llg
1
uP du= p ~
1
ll f (p+l)l loo·
1) et 2) : évidents.
3): On a f (0) = 0 et, pour tout x de ]O; +oo[,
r+oo
[
] +oo
f (x) = Jo xe- xr dt = - e - xr
0
= 1 ,
donc f n'est pas continue e n O.
a) Notons F : lR x [O; +oo[----+ lR .
(x,t ) ~ e1
\ h2x t
• Pour tout x E IR, F (x ,·) est intégrable sur [0 ; +oo[, car
F (x, ·) est continue sur [O ; +oo[ et :
2
2
e 2xt + e -2xt
t 2 F(x,t) = t 2 e _, ch (2xt ) = t 2 e _,
2
l 2 - t 2 +2xt
- t e
----+ O.
1 ---+ +oo 2
/ ----. +oo
aF
2
-
: (x,t) ~ 2t e _, sh (2xt )
es t
définie
s ur
ax
IR x [0 ; +oo[, continue par rapport à x , continue par morceaux
(car continue) par rapport à t.
aF
• -
vérifie HD locale sur lR x [O; +oo[ car, pour tout a de
ax
[O; +oo[, e n notant 't/Ja : [O; +oo[----+ IR , 't/Ja est continue,;:::, 0 ,
t1-->21e- 12 sh 2at
intégrable sur [O; +oo[ et :
V'(x,t) E [-a; a ] x [O; +oo[, 1 ~; (x ,t) I :::::; 't/Ja(t ).
D'après une extension du théorème de dérivation sous le signe
f , on déduit :
aF
•Pour tout x de IR , - (x ,.) est intégrables sur [O; +oo[
ax
• L'application f: IR ----+ IR
est de classe C
1 sur
r+oo
2
X I--> Jo
e- 1 ch 2xt dt
IR e t :
r +oo
2
V'x E IR, f'(x) = Jo 2te1 sh 2xt dt.
E n utilisant une intégration par parties, on a :
V'x E IR, V'T E [0; +oo[, fo T 2te12 sh 2xt dt
= -e7 2 sh2x T + 2x foT e -
1
\ h2x t dt ,
d'où, e n passant aux limites quand T tend vers +oo :
V'x E IR, J'(x ) = 2xf(x).
b) Par résolution de l'équation différentielle obte nue e n
a), il existe À E IR tel que :
2
V'x E IR, f (x) = Àex .
Io
+oo 2
,,/ii
Et: À = f(O) =
e - r dt= -
(intégrale de Gauss):
0
2
Remarque
Un calcul plus simple et direct était possible.
1 l +oo
2
On a d'abord , par parité: f(x) = -
e- 1 ch 2xt dt.
2 - OO
Puis:
f (x) = -
e- 1 (e2xt + e - 2xr)dt
11+ 00 2 .
4 -OO
1 l +oo -(t-r)2+x2
1 l +oo -(t+x)2+,-2
= -
e
·
dt + -
e
· dt
4 - OO
4 - OO
l x2 1 +00 -112
1 x2 1 +00 -v2
,,Jii x2
= - e
e
du + - e
e
d v = - e .
4
- OO
4
- OO
2
1) Il est clair que, pour tout z de C, l'application t ~ e12
ez
1
est continue et intégrable sur IR .
Soit z E C ; notons x = Ré(z), y = Im(z) . On a:
x2 +ixy 1 +00
2 .
= e 4 2
e- u e
1
Y"du .
- OO
1
+00
2 .
JI suffit donc de calculer - oo e -
1 e
1
Y
1 dt , pour y E IR .
2) Notons F : lR x IR ----+ C .
(y ,t)1-->e -12+iy1
• Pour tout y E IR, F (y, ·) est intégrable sur IR, car F (y, ·) est
continue sur lR et :
t2 F(y, t) = t 2e _ ,2+i 1y ----+ O.
t ~ ±oo
aF
, .
• -
: (y,t) ~ i t e_
1
-+
1 Y
1 est définie sur IR 2 , continue par
ay
rapport à y, continue par morceaux (car continue) par rapport
à t .
aF
• - vérifie HD car, e n notant ·tf; : IR ----+ IR , ·tf; est continue,
ay
Il--> itle- 12
;:::, 0 , intégrable sur lR et :
V(y,t) E IR
2 , 1 ~; (y, t) I = 't/J(t).
D'après le théorème de dérivation sous le signe f , on déduit :
aF
• Pour tout y de IR, - (y,· ) est intégrable sur IR
ay