"'O
0
c
::J
0
(V)
ri
0
N
@
...._,
..c
Ol
'i:
>0.
0
u
\f XE R ,
la
i ôF
f'(x) =
- (x,t)dt
0 ôx
2 fox 2
= -2e- x
e - u du.
u=xt
0
b) L'application A : x r-----+ f (x) + (fox e-r
2
dt)
2
est de classe C 1 sur R et :
\f x E R , A' (x) = J' (x) + 2 (fox e12 dt) e- x
2 = O,
donc A est constante.
c) • \f x E R ,
fo
l
1
A(x) = A(O) =
- -
2
dt
0 1 + t
= [ Arctant ]~ = ~·
[ 1 e_X2
'J[
2
• \f x E R+ , 0 ::::; f (x) ::::; Jo
1
+ t 2 dt= 4
e-x , donc
f (x) -----+ O.
x~+ oo
•Il en résulte : ( f
0
x e-t
2 dt)
2
------+ ::._
Jo
x--> +oo 4'
fo
x
2
h
2
d'où
e-t dt ------+ - , puisque e-r ;:::: O.
O
x -->+oo 4
D'après 3.1.3 1) Prop. 1 p. 179, on conclut que t r-----+ e- t
2 est
intégrable sur [O; +oo[ et :
r+oo e - 12 dt = fi.
lo
2
• Déf (f) = [l; +oo[.
• Notons F: [1 ; +oo[x[O; n].
(X ,t) r-----+ ..J X + COS t
L' application Fest continue par rapport à x , continue par morceaux (car continue) par rapport à t , et vérifie HDL car, pour
tout a E [l ; +oo[ :
\f(x,t) E [J ;a] x [O; n],
IF(x,t)I = ..Jx + cost ~ Ja"'+î
et l'application constante ,jf'+{l est intégrable sur [O ; n] (cf.
aussi la Remarque 2) du§ 3.5.1 p. 191).
D'après le théorème de continuité sous le signe 1", pour tout
x E [l ; +oo[, F(x ,·) est intégrable sur [0; n] et l'application f est continue sur [1 ; +oo[.
On vient de voir que, pour tout x E [ 1 ; +oo[, F (x , ·) est intégrable sur [O ; n].
ôF
1
L'application -
: (x,t) r-----+
e st définie sur
ôx
2..Jx + cost
] 1 ; +oo[ x [O ; n], continue par rapport à x, continue par morceaux (car continue) par rapport à t , et vérifie HDL car, pour
tout a E] l ; +oo[ :
\f (x,t) E [a; +oo[x[O; n],
l
aFcx .r) I =
1
~
1
ÔX
2..j X + COS t 2Ja"-=-î
1
et l'application constante c--> est intégrable sur le segment
2.ya -1
[O ; n] (cf. au ssi la Remarque 2) du § 3.5. l p. 191).
D'après le théorème de dérivation sous le signe 1", l' application f est de classe C
1 sur ] 1 ; +oo [ et :
\f X E]l; +oo[, f ' (x) =
- (x ,t)dt
l o
rr ôF
0 ôx
= {rr ::---:;===dt > O.
lo 2,Jx + cost
X
1
+oo
f ' (x)
+
f (x)
~
•Étude en 1
1) f (l) =
..J1 + cost dt =
-J2 cos - dt = 2-J2.
Io "
la" t
0
0
2
2) On a, pour tout h > 0 :
J'(l + h) = ["
dt
Jo 2..J1 + h + cost
>- ~ [Jf --;::=d =t= =
"" 2 J;r J
t
2 yh + 2cos2 2
/;;
t
1 i" v2sin ' 2
;:::: - -
dt
2v'2 ! I h 2 2 t
y + cos 2
= _l [ln (~ + K)+ u
2
]
1
v'2
,.jïi,
h
0
= -
1
- ln(1
- + j1 + !_)
v'2 ,/Ti
h ,
d'où: f ' (l+h)-----+ +oo.
h---'>0+
• Étude en + oo
f (x) ;:::: (" Jx"=l' dt = 1f Jx"=l' ------+ + OO
Jo
x-->+oo
0
c
::J
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= -2e- x
e - u du.
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0
b) L'application A : x r-----+ f (x) + (fox e-r
2
dt)
2
est de classe C 1 sur R et :
\f x E R , A' (x) = J' (x) + 2 (fox e12 dt) e- x
2 = O,
donc A est constante.
c) • \f x E R ,
fo
l
1
A(x) = A(O) =
- -
2
dt
0 1 + t
= [ Arctant ]~ = ~·
[ 1 e_X2
'J[
2
• \f x E R+ , 0 ::::; f (x) ::::; Jo
1
+ t 2 dt= 4
e-x , donc
f (x) -----+ O.
x~+ oo
•Il en résulte : ( f
0
x e-t
2 dt)
2
------+ ::._
Jo
x--> +oo 4'
fo
x
2
h
2
d'où
e-t dt ------+ - , puisque e-r ;:::: O.
O
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D'après 3.1.3 1) Prop. 1 p. 179, on conclut que t r-----+ e- t
2 est
intégrable sur [O; +oo[ et :
r+oo e - 12 dt = fi.
lo
2
• Déf (f) = [l; +oo[.
• Notons F: [1 ; +oo[x[O; n].
(X ,t) r-----+ ..J X + COS t
L' application Fest continue par rapport à x , continue par morceaux (car continue) par rapport à t , et vérifie HDL car, pour
tout a E [l ; +oo[ :
\f(x,t) E [J ;a] x [O; n],
IF(x,t)I = ..Jx + cost ~ Ja"'+î
et l'application constante ,jf'+{l est intégrable sur [O ; n] (cf.
aussi la Remarque 2) du§ 3.5.1 p. 191).
D'après le théorème de continuité sous le signe 1", pour tout
x E [l ; +oo[, F(x ,·) est intégrable sur [0; n] et l'application f est continue sur [1 ; +oo[.
On vient de voir que, pour tout x E [ 1 ; +oo[, F (x , ·) est intégrable sur [O ; n].
ôF
1
L'application -
: (x,t) r-----+
e st définie sur
ôx
2..Jx + cost
] 1 ; +oo[ x [O ; n], continue par rapport à x, continue par morceaux (car continue) par rapport à t , et vérifie HDL car, pour
tout a E] l ; +oo[ :
\f (x,t) E [a; +oo[x[O; n],
l
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1
~
1
ÔX
2..j X + COS t 2Ja"-=-î
1
et l'application constante c--> est intégrable sur le segment
2.ya -1
[O ; n] (cf. au ssi la Remarque 2) du § 3.5. l p. 191).
D'après le théorème de dérivation sous le signe 1", l' application f est de classe C
1 sur ] 1 ; +oo [ et :
\f X E]l; +oo[, f ' (x) =
- (x ,t)dt
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= {rr ::---:;===dt > O.
lo 2,Jx + cost
X
1
+oo
f ' (x)
+
f (x)
~
•Étude en 1
1) f (l) =
..J1 + cost dt =
-J2 cos - dt = 2-J2.
Io "
la" t
0
0
2
2) On a, pour tout h > 0 :
J'(l + h) = ["
dt
Jo 2..J1 + h + cost
>- ~ [Jf --;::=d =t= =
"" 2 J;r J
t
2 yh + 2cos2 2
/;;
t
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2v'2 ! I h 2 2 t
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]
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1
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v'2 ,/Ti
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d'où: f ' (l+h)-----+ +oo.
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• Étude en + oo
f (x) ;:::: (" Jx"=l' dt = 1f Jx"=l' ------+ + OO
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