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Chapitre 1 • Espaces vectoriels normés
Un exemple d'application continue
On note E = C([O; 1],JR), muni de 11- 11 00 , et U = {f E E; V x E [0 ; l], f(x) =!= O}.
a) Montrer que U est un ouvert de E.
1
b) Démontrer que l'application : U -----+ E , f r---+ f est continue.
Solution
Soit fa E U.
Puisque fa est continue sur l'intervalle [O; l] et que fo ne s'annule en aucun point
de [O; 1], d'après le théorème des valeurs intermédiaires, on a: fa > 0 ou fa < O.
Supposons, par exemple, fa > O.
Puisque fa est continue sur le segment [O; l], d'après le théorème fondamental, fa
est bornée et atteint ses bornes.
En particulier, il existe a > 0 tel que :
V x E [0; l] , fa(x) ;;,:: a.
.
a
Smtf E E telle que llf - /alloo < 2·
On a, pour tout x E [O ; l] :
a
a
f(x) = (f(x) - fa(x)) + fa(x);;::: -2 +a= 2 > 0,
donc f EU.
Ceci montre :
V f E E , ( llf - falloo < ~ ==> f EU ).
c'est-à-dire :
Ainsi, U est voisinage de chacun de ses points, donc U est ouvert.
b) Remarquons d'abord que est correctement définie, car, pour toute f E U,
l
l
1
f existe et f est continue, donc f E E.
Soit/a EU.
Comme en a), quitte à remplacer fo par - f 0 , on peut supposer qu'il existe a > 0
tel que:
V x E [0 ; l] , fa(x) ;;,:: a .
.
a
Smtf EU telle que llf - foll oo ~ 2·
On a alors, pour tout x E [O ; l] :
1
a
a
lf(x)I = l(.fCx) - fa(x)) + fa(x) ;:: lfa(x) l - lf(x) - fa(x)I;;::: a - 2 = 2'
d'où, pour tout x E [O; l] :
Conseils
Pour montrer que U est un ouvert de E,
on va montrer que U est voisinage de
chacun de ses points
Le cas fa < 0 se ramène au cas fa > 0 en
remplaçant fo par - fo.
On peut choisir :
a= Inf fa(x) > O.
xe[O: 1]
S'assurer d'abord que est correctement
définie.
Inégalité triangulaire renversée.