Solution
If (x ) - fo(x) I
If (x)l lfo(x)I
~ Il! - folloo = 22 ll f - folloo,
aa
2
donc:
2
11(f) -(fo)l loo ~ 211! - fol loo·
a
Il en résulte :
11(f) - (f o)lloo ---+ 0,
f ---. Jo
donc (f) ---+ (fo), est continue en fo.
f ---> Jo
On conclut : est continue sur U.
Un exemple d'application non continue
1.2 · Limites, continuité
Conseils
Passage à la borne supérieure lorsque x
décrit [O; 1) .
On note E = C([O ; 1],IR) muni de 1 1 .11 1 et
2
= f · f . Montrer que Solution
Considérons, pour tout n E N :
f,, : [O ; l] ---+ IR, x r-----+ f,,(x) = .JiÏ, x".
•Il est clair que: V n E N, fn E E.
• On a, pour tout n E N :
1 1
11 n Jn
llf,,11 1 =
lf,,(x) I dx =
Jnx dx = - - ,
o
o
n + 1
donc: llfn ll 1 ---+ 0, fn ---+ 0 dans (E, 1 1 .11 1).
1100
1100
• On a, pour tout n E N :
11!;1 11 = [' (J,,(x))
2 dx = [' nx
2
" dx = _ n_ '
la
la
2n + 1
1 2
---+ -
2
, f,, -+ O. On a ainsi construit une suite (f, 1 ) 11 eN dans E te lle
fJ OO
11 00
que :
fn ---+ 0 et
noo
Ceci montre que sur E.
Conseils
Pour montrer que E, il suffit de montrer que continue en au moins un point de E.
On va construire une suite (J,,)11EN dans E
telle que :
f,, ~ 0 et f,~ - h 0
2 = 0.
noo
noo
Par définition, et seulement si moins un point de E.
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If (x ) - fo(x) I
If (x)l lfo(x)I
~ Il! - folloo = 22 ll f - folloo,
aa
2
donc:
2
11(f) -(fo)l loo ~ 211! - fol loo·
a
Il en résulte :
11(f) - (f o)lloo ---+ 0,
f ---. Jo
donc (f) ---+ (fo), est continue en fo.
f ---> Jo
On conclut : est continue sur U.
Un exemple d'application non continue
1.2 · Limites, continuité
Conseils
Passage à la borne supérieure lorsque x
décrit [O; 1) .
On note E = C([O ; 1],IR) muni de 1 1 .11 1 et
2
= f · f . Montrer que Solution
Considérons, pour tout n E N :
f,, : [O ; l] ---+ IR, x r-----+ f,,(x) = .JiÏ, x".
•Il est clair que: V n E N, fn E E.
• On a, pour tout n E N :
1 1
11 n Jn
llf,,11 1 =
lf,,(x) I dx =
Jnx dx = - - ,
o
o
n + 1
donc: llfn ll 1 ---+ 0, fn ---+ 0 dans (E, 1 1 .11 1).
1100
1100
• On a, pour tout n E N :
11!;1 11 = [' (J,,(x))
2 dx = [' nx
2
" dx = _ n_ '
la
la
2n + 1
1 2
---+ -
2
, f,, -+ O. On a ainsi construit une suite (f, 1 ) 11 eN dans E te lle
fJ OO
11 00
que :
fn ---+ 0 et
noo
Ceci montre que sur E.
Conseils
Pour montrer que E, il suffit de montrer que continue en au moins un point de E.
On va construire une suite (J,,)11EN dans E
telle que :
f,, ~ 0 et f,~ - h 0
2 = 0.
noo
noo
Par définition, et seulement si moins un point de E.
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