~ Propriétés très utiles en pratique.
"'O
0
c
::J
0
(V)
......
0
N
~ ·;::
>- 0.
0
u
Exercice 1.2.3.
Pour montrer que deux fonctions
continues sont égales, il suffit de montrer
qu'elles coïncident sur une partie dense.
1.2 • Limites, continuité
Propriétés algébriques des fonctions continues
I Soient XE 'f)(E), a E X,f,g: X----+ F, À: X----+ K On a:
1) Si f est continue en a, alors X ----+ lR
est continue en a
Xf----+ 11f(x)11 F
2) Si f et g sont continues en a, alors f + g est continue en a
3) Si À et f sont continues en a, alors Àf est continue en a
1
4) Si À est continue en a et si À(a) # 0, alors - est continue en a.
À
II 1) Sif est continue sur X, alors X ----+ lR
est continue sur X
Xf----+ 11! (x) l IF
2) Si f et g sont continues sur X, alors f + g est continue sur X
3) Si À etf sont continues sur X, alors Àf est continue sur X
1
4) Si À est continue sur X et si (Va E X, À(a) # 0), alors - est continue sur X.
À
Preuve
Se ramener aux propriétés algébriques des fonctions admettant des limites (1.2. l p. 42) à l'aide de 1.2.2
1) Prop. l p. 43. On peut aussi donner des preuves « directes ».
La Proposition suivante est immédiate.
---.,
1) Soient n E N*, E 1, ... , En des JK-evn ; pour chaque k de { 1, ... ,n}, la kème
projection prk : E1 x ... En ----+ Ek est continue.
(xi , ... ,xn)f----+Xk
2) Toute application polynomiale (à plusieurs indéterminées) à coefficients dans lK
est continue.
En particulier, les applications suivantes sont continues: OC x Mn ,p(OC)-----+ Mn ,p(OC),
(À,A) f----+ ÀA
(M 11 ,p (OC))
2 -----+ M 11 ,p(OC), M 11 ,p(OC) X M p,q(OC)-----+ M 11 ,q(OC),
(A,B) t------+ A+ B
(A,B) t------+ AB
M 11 ,p(OC) -----+ M p,n (OC) ,
At------+ ' .4
M 11 ,p(
M n (OC) -----+ OC,
A f----+ tr( A)
Mn (OC) -----+ OC,
A t------+ det(A)
G Ln (OC) -----+ M n (OC).
A f----+ A -
1
Soient X E 'f}(E),f,g: X ----+ F, A une partie de X.
1
f et g sont continues sur X
Si A est dense dans X
Va E A, f (a) = g(a)
'Preuve
, alorsf = g.
Notons h = f - g. Comme {O} est un fermé de F et que h est continue, h -
1 ({O}) est un fermé de X.
De plus, d'après les hypothèses, A c h -
1 ({O}). D'où X= Ac h -
1 ({O}), donc h = O,f = g.
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Exercice 1.2.3.
Pour montrer que deux fonctions
continues sont égales, il suffit de montrer
qu'elles coïncident sur une partie dense.
1.2 • Limites, continuité
Propriétés algébriques des fonctions continues
I Soient XE 'f)(E), a E X,f,g: X----+ F, À: X----+ K On a:
1) Si f est continue en a, alors X ----+ lR
est continue en a
Xf----+ 11f(x)11 F
2) Si f et g sont continues en a, alors f + g est continue en a
3) Si À et f sont continues en a, alors Àf est continue en a
1
4) Si À est continue en a et si À(a) # 0, alors - est continue en a.
À
II 1) Sif est continue sur X, alors X ----+ lR
est continue sur X
Xf----+ 11! (x) l IF
2) Si f et g sont continues sur X, alors f + g est continue sur X
3) Si À etf sont continues sur X, alors Àf est continue sur X
1
4) Si À est continue sur X et si (Va E X, À(a) # 0), alors - est continue sur X.
À
Preuve
Se ramener aux propriétés algébriques des fonctions admettant des limites (1.2. l p. 42) à l'aide de 1.2.2
1) Prop. l p. 43. On peut aussi donner des preuves « directes ».
La Proposition suivante est immédiate.
---.,
1) Soient n E N*, E 1, ... , En des JK-evn ; pour chaque k de { 1, ... ,n}, la kème
projection prk : E1 x ... En ----+ Ek est continue.
(xi , ... ,xn)f----+Xk
2) Toute application polynomiale (à plusieurs indéterminées) à coefficients dans lK
est continue.
En particulier, les applications suivantes sont continues: OC x Mn ,p(OC)-----+ Mn ,p(OC),
(À,A) f----+ ÀA
(M 11 ,p (OC))
2 -----+ M 11 ,p(OC), M 11 ,p(OC) X M p,q(OC)-----+ M 11 ,q(OC),
(A,B) t------+ A+ B
(A,B) t------+ AB
M 11 ,p(OC) -----+ M p,n (OC) ,
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M n (OC) -----+ OC,
A f----+ tr( A)
Mn (OC) -----+ OC,
A t------+ det(A)
G Ln (OC) -----+ M n (OC).
A f----+ A -
1
Soient X E 'f}(E),f,g: X ----+ F, A une partie de X.
1
f et g sont continues sur X
Si A est dense dans X
Va E A, f (a) = g(a)
'Preuve
, alorsf = g.
Notons h = f - g. Comme {O} est un fermé de F et que h est continue, h -
1 ({O}) est un fermé de X.
De plus, d'après les hypothèses, A c h -
1 ({O}). D'où X= Ac h -
1 ({O}), donc h = O,f = g.
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