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0
(V)
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0
N
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.......
..c
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·;::::
>0..
0
u
560 1
1) Montrons d'abord : dA = dA.
•A C A , donc: Vx E A , d(x,A) ::;; d(x , A ).
• Soit &> O.PourtouttdeA , il existea E Atelque d (t ,a) < ê,
d 'où
d(x ,A) ::;; d(x ,a ) ::;; d(x,t ) + d(t ,a ) ::;; d (x, t) + &;
puis , en passant à la borne inférieure lorsque t décrit A :
d(x ,A) ::;; d(x ,A) + ê .
Ains i: V& > 0, d(x,A) ::;; d(x ,A) + ê,
d 'où d(x,A) ::;; d(x,A).
2) A = B ===} dA = dB{::::::::} dA = ds .
3) Réciproquement, supposons dA = ds ; on a, pour tout t
de E:
t E A{::::::::} d(t ,A) = 0 {::::::::} d(t,B) = 0 {::::::::} t E B,
d'où A= B .
Soit (a,b) E A x B. On a, pour tout (x ,y) de A x B:
d(x ,y) ::;; d(x ,a ) + d(a ,b) + d(b, y)
::;; diam(A) + d(a ,b) + diam(B),
ce qui montre que A U B est borné et :
diam(A U B) ::;; diam(A) + d(a,b) + di am (B) .
La relation voulue s'en déduit en passant aux bornes inférieures
lorsque (a,b) décrit A x B.
1) A x B C C x D , donc :
d(C,D ) =
Inf
d(x,y) ::;;
Tnf
d (x ,y)
(x,y)ECxD
(x ,y)EA x B
= d ( A , B).
2) Soit ê > 0 fi xé. Il existe (c,d) E C x D tel que:
ê
d (c,d) ::;; d(C ,D ) + 3
.
Comme (c,d) E A x B , il existe (a ,b) E A x B tel que :
ê
ê
d(c,a) < 3
et d(d ,b) < 3
. Alors :
d(A , B) ::;; d(a ,b) ::;; d(a, c) + d(c, d) + d(d,b)
Ainsi: V& > 0 , d(A,B) < d(C,D) + ê,
d'où d ( A , B ) ::;; d(C, D).
< d(C ,D) + ê .
a) Il est clair, par une récurrence immédi ate, que, pour tout
n E N, u,, existe et u,, ?;' : O.
Considérons l'application f : [O ; +oo[-+ IR .
x t---7 ln (2 +x)
Pui s qu e f es t c roi ssa nte e t qu e [O; + oo[ e s t s tabl e
par f, l a s uite (u ,,) 11 ::,. 0 es t monoton e. D e plus,
u1 = ln 2 ?;' : 0 = u 0 , donc (u 11 ) 11 :;. 0 est croissante.
L'application g : x t---7 f (x) - x est dérivable sur [O ; +oo[ et :
1
Vx E [O ; +oo[, g'(x ) = - - - 1 < 0,
2+x
donc g est strictement décroissante sur [O ; +oo[. De plus,
g(O) = ln 2 > 0 et g(x) ----+ -oo. D'après le théorème
X ~ +oo
des valeurs intermédiaires et la stricte monotonie, il existe
a E [O ; +oo[ unique tel que g(a) = 0, c'est-à-dire tel que
f (a) = a. Puis qu e f e s t croissa nte e t que f (0) ?;' : 0 e t
f (a) = a, l'intervalle [O ; a] est stable par f et donc, pour tout
n E N, u 11 E [O; a].
Ainsi, (u11)n:;.o est croissante et majorée par a, donc converge
vers un réel l E [O ; a ]. Comme de plus l est solution de
f(x)=x,on a l= a.
On conclut que (u,, ),,:;.o converge vers un réel l et quel est le
point fixe de f.
b) En utilisant l'inégalité des accroissements finis :
lu,,+ 1 - li = IJCu11 ) - f(l)I
1
l
~ lu11 - li Sup If (x) I = - lu11 - li,
xE[O: f ]
2
d'où, par une récurrence immédiate :
1
VnE N, lu11-l l =::;;-l uo-ll .
211
Enfin, Uo = 0 et g(2) = ln4 - 2 < 0, donc l < 2, d'où finalement :
1
Vn EN, lu11 - l i :::;; - -
1
•
211a) Il est clair que (u 11 ) 11 :;.o est décroissante et minorée par 0, donc
converge vers un réel l, et on a s in l = e. D'autre part, grâce
à l'étude des variations de la fonction x t--+ sin x - x, on a,
pour tout x E IR :
s in x = x {::::::::} x = O.
On conclut : u,, ----+ O.
1100
b)l ) Ona, pourtoutn E N :
- (U11+ I - U,, )(Un+I + Un)
U~U~+ I
E n utilisant des développements limités:
donc:
d'où:
.
1 3
3
u,,+ 1 = s1nu11 = u,, - 6u,, + o(u 11
),
1 3
et U11 + I - U11 ,~ - 6u,,,
1
V11+1 - V 11 ----+
1100 3
2) D 'après le lemme d e l'escalier (par exemple), o n a alors :
V,,
1
n
2
3 .
-
----+ - , donc V 11 ~ - , u
11
~ - puis, comme u 11 ?;' : 0 , on
n 1100 3
1100 3
1100 n
conclut :
v'3
u ,,~ - .
11 00 ,Jii,
0
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1) Montrons d'abord : dA = dA.
•A C A , donc: Vx E A , d(x,A) ::;; d(x , A ).
• Soit &> O.PourtouttdeA , il existea E Atelque d (t ,a) < ê,
d 'où
d(x ,A) ::;; d(x ,a ) ::;; d(x,t ) + d(t ,a ) ::;; d (x, t) + &;
puis , en passant à la borne inférieure lorsque t décrit A :
d(x ,A) ::;; d(x ,A) + ê .
Ains i: V& > 0, d(x,A) ::;; d(x ,A) + ê,
d 'où d(x,A) ::;; d(x,A).
2) A = B ===} dA = dB{::::::::} dA = ds .
3) Réciproquement, supposons dA = ds ; on a, pour tout t
de E:
t E A{::::::::} d(t ,A) = 0 {::::::::} d(t,B) = 0 {::::::::} t E B,
d'où A= B .
Soit (a,b) E A x B. On a, pour tout (x ,y) de A x B:
d(x ,y) ::;; d(x ,a ) + d(a ,b) + d(b, y)
::;; diam(A) + d(a ,b) + diam(B),
ce qui montre que A U B est borné et :
diam(A U B) ::;; diam(A) + d(a,b) + di am (B) .
La relation voulue s'en déduit en passant aux bornes inférieures
lorsque (a,b) décrit A x B.
1) A x B C C x D , donc :
d(C,D ) =
Inf
d(x,y) ::;;
Tnf
d (x ,y)
(x,y)ECxD
(x ,y)EA x B
= d ( A , B).
2) Soit ê > 0 fi xé. Il existe (c,d) E C x D tel que:
ê
d (c,d) ::;; d(C ,D ) + 3
.
Comme (c,d) E A x B , il existe (a ,b) E A x B tel que :
ê
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d(c,a) < 3
et d(d ,b) < 3
. Alors :
d(A , B) ::;; d(a ,b) ::;; d(a, c) + d(c, d) + d(d,b)
Ainsi: V& > 0 , d(A,B) < d(C,D) + ê,
d'où d ( A , B ) ::;; d(C, D).
< d(C ,D) + ê .
a) Il est clair, par une récurrence immédi ate, que, pour tout
n E N, u,, existe et u,, ?;' : O.
Considérons l'application f : [O ; +oo[-+ IR .
x t---7 ln (2 +x)
Pui s qu e f es t c roi ssa nte e t qu e [O; + oo[ e s t s tabl e
par f, l a s uite (u ,,) 11 ::,. 0 es t monoton e. D e plus,
u1 = ln 2 ?;' : 0 = u 0 , donc (u 11 ) 11 :;. 0 est croissante.
L'application g : x t---7 f (x) - x est dérivable sur [O ; +oo[ et :
1
Vx E [O ; +oo[, g'(x ) = - - - 1 < 0,
2+x
donc g est strictement décroissante sur [O ; +oo[. De plus,
g(O) = ln 2 > 0 et g(x) ----+ -oo. D'après le théorème
X ~ +oo
des valeurs intermédiaires et la stricte monotonie, il existe
a E [O ; +oo[ unique tel que g(a) = 0, c'est-à-dire tel que
f (a) = a. Puis qu e f e s t croissa nte e t que f (0) ?;' : 0 e t
f (a) = a, l'intervalle [O ; a] est stable par f et donc, pour tout
n E N, u 11 E [O; a].
Ainsi, (u11)n:;.o est croissante et majorée par a, donc converge
vers un réel l E [O ; a ]. Comme de plus l est solution de
f(x)=x,on a l= a.
On conclut que (u,, ),,:;.o converge vers un réel l et quel est le
point fixe de f.
b) En utilisant l'inégalité des accroissements finis :
lu,,+ 1 - li = IJCu11 ) - f(l)I
1
l
~ lu11 - li Sup If (x) I = - lu11 - li,
xE[O: f ]
2
d'où, par une récurrence immédiate :
1
VnE N, lu11-l l =::;;-l uo-ll .
211
Enfin, Uo = 0 et g(2) = ln4 - 2 < 0, donc l < 2, d'où finalement :
1
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1
•
211a) Il est clair que (u 11 ) 11 :;.o est décroissante et minorée par 0, donc
converge vers un réel l, et on a s in l = e. D'autre part, grâce
à l'étude des variations de la fonction x t--+ sin x - x, on a,
pour tout x E IR :
s in x = x {::::::::} x = O.
On conclut : u,, ----+ O.
1100
b)l ) Ona, pourtoutn E N :
- (U11+ I - U,, )(Un+I + Un)
U~U~+ I
E n utilisant des développements limités:
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1 3
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1
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2) D 'après le lemme d e l'escalier (par exemple), o n a alors :
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