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==}Un v cunV .
0
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~
• Soient x E U n V = U n V et W un voisinage ouvert de x
0
,....__
dans E. En notant Q =U n V, Q est ou vert et
xEQcUn V .
Comme x E U et W n Q E VE(x), on a:
(W n Q) n U i= 0 , et il existe donc y E W n Q n U.
Pui s qu e W n Q n U es t ouvert e t y E Q CV , on a :
(W n Q n U) n V i= 0 , d'où w n (Un V) i= 0 . Ceci
0
_ ,....___
prouve X E u n V et donc u n V c u n V . En passant aux
0
0
0
intérieurs, on déduit U n V c U n V .
{J) Passer aux complémentaires et utiliser a).
_ o_
0
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,,.-....
0
0
-
-
b) An B =A nB =An B (cf. a) a)) et de même pour l'autre
formule.
On va montrer en fait plus généralement que, pour tout sev F
de E tel que F -::/= E , on a
0
F = 0 .
Il est clair que F est un sev de E.
0
Raisonnon s pas l'absurde : supposons F -::/= 0. Il existe alors
f E F et r E lR";. tels que B (f; r) C F.
Pour tout g de E, on a alors
211 g-f ll (
r
)
g = f +
r
2 ll g - !Il (g - f)
r
car f E F,
(g - f) E B(x; r) c F (si g i= f) et F
2 11g-f ll
est un sev. Mais ainsi F = E, contradiction car [O; +oo[----7 lR
X t----+ x 2
est continue mais non uniformément continue.
Fr(A u B) = Au B n CE( A u B)
= (A u B ) n (CE(A) n CE (B)) = F u G ,
en notant F = A n CE(A) n CE(B)
et G = B n CE(A) n CE( B).
Montrons F = An CE(A) n CE(B).
Une inclusion est immédiate.
Soient x E An CE(A) n CE( B) et Vun voisinage ouvert de x
dans E.
0
On a: X E Ac CE(B) = c;(s), donc V n CE(B) est un vois inage d e x dan s E. Pui sque x E CE(A), on a a lors
V n CE(B) n CE(A) i= 0 .
On conclut : x E An CE (A) n CE (B).
De même, G = B n CE(A) n CE( B ), d'où
Fr(A U B)
= (ïî n CE(A) n CE(B)) u (8 n CE( B) n CE(A))
= (Fr(A) n CE( B)) u (Fr(B) n CE(A)).
0
Enfin :
Fr(A) c Ac CE(B) = C;(B) c CE(B) ,
d'où finalement : Fr(A U B) =Fr( A) U Fr(B).
• Soit f E A. Puisque f est continue sur le segment [O; 1] et
ne s'annule en aucun point, il existes E IR";. tel que f ~ s ou
f ~ - é .
Supposons, par exemple f ~ s . Alors B (!; ~) C A.
Ceci montre que A est ouvert.
•Notons B = {g E E; g ~ 0 ou g ~ 0}, et montrons A= B.
1) Soit cp E A , et s uppo so n s cp ef. B. Il ex iste a lors
(x 1 ,x2) E [O; 1] 2 te l que cp(x 1) < 0 et cp(x2) > O. Notons
s = Min(-cp(x 1) ,cp(x2)) > 0 ; puisquecp E A, ilexistef E A
telle que ll et f (x2) > cp(x2) - s ~ 0 , donc, théorème des valeurs
intermédiaires, f s'annule en au moins un point de [0; l],
contradiction. Ceci montre que cp E B.
2) Réciproquement, soit g E B , par exemple g ~ O. Pour
chaque s > 0, considérons f e = Sup(g ,é). On a :
• f e ~ é > 0 , donc .fe E A
• 0 (:; g (:; f ,, donc 0 (:; f . - g
•pour tout x de [O; l],
{
g(x) ~ s ==} f s (x) - g(x) = 0
0 ~ g(x) ~ s ==} f 8 (x) - g(x) ~ é.
Ainsi: f s E A et llg - f s lloo ~ é .
Ceci montre g E A .
0
Réponse: A =A et A= {g E E ; g ~ 0 ou g ~ O}.
0
1) A est un sev de co et A i= co, donc A = 0 (comme dans la
solution de l'exercice l .1.27).
2) Soient u = (un)nEN E co et ê > O. Il existe N E N tel que:
Vn E N, (n > N ==} lun l < é).
Considérons v = (vn)nEN définie par:
Vn = { U n si n ~ N
0
sin > N.
Ona: vE A et l l v-u lloo =Sup l un l~e .
Ceci montre: Vu Eco , Ve > 0, 3v E A, ll v - u lloo ~ s, et
donc A = co.
-
0
3) Fr(A) =A-A.
0
Réponse : A = 0 , A= co, Fr(A) = co.
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Il est clair que F est un sev de E.
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f E F et r E lR";. tels que B (f; r) C F.
Pour tout g de E, on a alors
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est un sev. Mais ainsi F = E, contradiction car [O; +oo[----7 lR
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est continue mais non uniformément continue.
Fr(A u B) = Au B n CE( A u B)
= (A u B ) n (CE(A) n CE (B)) = F u G ,
en notant F = A n CE(A) n CE(B)
et G = B n CE(A) n CE( B).
Montrons F = An CE(A) n CE(B).
Une inclusion est immédiate.
Soient x E An CE(A) n CE( B) et Vun voisinage ouvert de x
dans E.
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V n CE(B) n CE(A) i= 0 .
On conclut : x E An CE (A) n CE (B).
De même, G = B n CE(A) n CE( B ), d'où
Fr(A U B)
= (ïî n CE(A) n CE(B)) u (8 n CE( B) n CE(A))
= (Fr(A) n CE( B)) u (Fr(B) n CE(A)).
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Enfin :
Fr(A) c Ac CE(B) = C;(B) c CE(B) ,
d'où finalement : Fr(A U B) =Fr( A) U Fr(B).
• Soit f E A. Puisque f est continue sur le segment [O; 1] et
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Supposons, par exemple f ~ s . Alors B (!; ~) C A.
Ceci montre que A est ouvert.
•Notons B = {g E E; g ~ 0 ou g ~ 0}, et montrons A= B.
1) Soit cp E A , et s uppo so n s cp ef. B. Il ex iste a lors
(x 1 ,x2) E [O; 1] 2 te l que cp(x 1) < 0 et cp(x2) > O. Notons
s = Min(-cp(x 1) ,cp(x2)) > 0 ; puisquecp E A, ilexistef E A
telle que ll et f (x2) > cp(x2) - s ~ 0 , donc, théorème des valeurs
intermédiaires, f s'annule en au moins un point de [0; l],
contradiction. Ceci montre que cp E B.
2) Réciproquement, soit g E B , par exemple g ~ O. Pour
chaque s > 0, considérons f e = Sup(g ,é). On a :
• f e ~ é > 0 , donc .fe E A
• 0 (:; g (:; f ,, donc 0 (:; f . - g
•pour tout x de [O; l],
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g(x) ~ s ==} f s (x) - g(x) = 0
0 ~ g(x) ~ s ==} f 8 (x) - g(x) ~ é.
Ainsi: f s E A et llg - f s lloo ~ é .
Ceci montre g E A .
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Réponse: A =A et A= {g E E ; g ~ 0 ou g ~ O}.
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1) A est un sev de co et A i= co, donc A = 0 (comme dans la
solution de l'exercice l .1.27).
2) Soient u = (un)nEN E co et ê > O. Il existe N E N tel que:
Vn E N, (n > N ==} lun l < é).
Considérons v = (vn)nEN définie par:
Vn = { U n si n ~ N
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sin > N.
Ona: vE A et l l v-u lloo =Sup l un l~e .
Ceci montre: Vu Eco , Ve > 0, 3v E A, ll v - u lloo ~ s, et
donc A = co.
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3) Fr(A) =A-A.
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Réponse : A = 0 , A= co, Fr(A) = co.
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