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0
c
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0
(V)
ri
0
N
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......,
..c
Ol
·c
>0.
0
u
a) Il est clair, par une récurrence immédiate, que, pour tout
n E N, u 11 existe et u 11 ~ O.
L'application f : [O; +oo[ -----? IR est dérivable sur
x f----+ x 2 e - x
[0; +oo[ et, pour tout x E [O; +oo[ :
f'(x) = 2xe -x - x 2 e -x = x(2 - x)e - x.
En particulier, f est croissante sur [O ; 1]. Comme f (0) = 0 et
f (1) = e -
1 ~ 1, il en résulte que l'intervalle [O; l] est stable
par f, et donc la suite (u 11 ) 11 ;;.o est monotone et à termes dans
[O; l]. De plus, u 1 = e1 ~ 1 = u 0 , donc (u 11 )11 ;;.o est décroissante. Ainsi, (u 11 ) 11 ;;. 0 est décroissante et minorée par 0, donc
converge vers un réel f.
On a, pour tout x E [O; l] :
f(x) =x {:::::::} x
2 e-x =x
{:::::::} (x = 0 ou ex = x) {:::::::} x = O.
On conclut : u 11 -----+ O.
noo
b) Notons, pour tout n EN :
v 11 = - lnu 11 •
On a donc: v 11 -----+ +oo.
1100
On a, pour tout n E N :
= -2 ln Un + u,, = 2v,, + u 11 •
D'où:
V11 + I
Vn
- - - -
211+1
211
Puis, par sommation et télescopage, pour tout n ~ 1 :
""' u k
La série L., k+ï est absolument convergente (donc converk;;.o 2
gente), puisque:
V k EN, 0 ~ Uk ~ 1.
+oo
""' u k
Notons S = L.,
2
k+ 1
• On a alors:
k=O
v 11 = 2"(S + o(l)).
Enfin:
Un = e -v, = e -S2" + o(2") = Cl" e o(2")'
en notant C = e -s E ]O ; 1 [.
• On a, par une récurrence immédiate : V n ~ 2, Un ~ l.
Si la suite (u 11 ) 11 ;;.2 converge, en notant l sa limite, on a
l = ../l, donc l = 0 ou l = 1. Mais, comme les u 11 sont tous
~ 1, on déduit l = 1.
Ainsi, si la suite (u 11 )n;;. 2 converge, alors sa limite est 1.
•Montrons qu'il existe NE N tel que u N+I ~ u N, en raisonnant par l'absurde.
Supposons:
Vn ~ 1, u,,+ 1 ~ u 11 ,
c'est-à-dire que (u 11 ) 11 ;;. 1 est croissante.
Comme:
1
3
V n ~ 3, Un ~ U3 = ,Jîiî + l ~ l,
3
si (u 11 ) 11 ;;. 3 converge, alors sa limite l vérifie l ~ 2 , contradiction.
Donc (u n )n;;.3 est croissante et divergente, donc u 11 -----+ +oo.
noo
Il existe alors N ~ 3 tel que u N ~ 3.
Ona:
L'étude du trinôme t
2 - t - 1 montre que u N ~ (
1 +
2
.JS)
2
3 + .j5 3 d' '
d' .
= - -
2
-
< , ou une contra 1ct1on.
Ceci montre, par l'absurde, qu'il existe NE N tel que
UN+I ~ U N .
On en déduit, par récurrence, que la suite (u11)11 ;;.N est décroissante. En effet, si u 11 + 1 ~ u 11 , alors :
1
1
U11+2 = ~ + - - ~ ,,;u;; + - = U11+I ·
n+l
n
Ainsi, (u 11 ) 11 ;;.N est décroissante et minorée par 1, donc converge.
On a vu que la seule limite possible est 1.
Finalement : u 11 -----+ 1.
1100
a) Une récurence immédiate montre: V n ~ 1 , u 11 ~ O.
Étudions la position relative de u 11 + 1 et un.
On a, pour tout n ~ 2 :
Un
1
Un + I ~ Un {:::::::} - + 2 ~ U,,
n
n
{:::::::}
~ Un.
n(n - 1)
Séparons donc en deux cas.
1
1er cas: V n ~ 2, u" ~
.
n(n - 1)
Alors, d'après le calcul précédent, la suite (u 11 ) 11 ;;. 2 est décroissante. Comme la suite (u 11 ) 11 ;;.2 est décroissante et minorée par
0, elle converge. Notons l sa limite. En passant à la limite dans
l'égalité définissant u 11 + 1 , on déduit l =O.
1
2è cas: Il existe N ~ 2 tel que u N ~ - - - -
N(N - 1)
On a, par récurrence sur n :
1
Vn ~ N , u 11 ~ - - - -
N(N - l)
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