9.3 • Extremums des fonctions numériques de plusieurs variables réelles
Exe.-cice-type .-é.solu
Exemple de recherche des extrémums locaux et des extrémums globaux pour une fonction numérique de
deux variables réelles
Déterminer les extrémums locaux et les extrémums globaux de
f: lR
2 -----+ IR, (x,y) t----+ f(x,y) = xy - xy2 + x
2 y.
SolwtioH
/) Extrémums locaux
• L'application f est de classe C
1 sur l'ouvert IR
2 , donc, si f admet un extrémum
local en (x, y) E IR 2 , alors (x, y) est un point critique de f.
On a, pour tout (x,y) E JR 2 :
J; (x ,y) =y - y2 + 2xy,
J; (x,y) = x - 2xy + x
2 •
D'où:
1
f~ (x,y)= 0 <===:>- 1 y(l - y+ 2x) = 0
f y(x,y) = 0
x(l - 2y + x) = 0
<===:>- ( 1 X = 0 OU
y= O
1
X=0
OU
y= l
1
X= -1
y= O
ou 1
1- y+2x=0 )
l -2y +x = 0
<===:>- (x ,y) E { (0,0) , (0,1) , (-1 ,0) , ( - ~' ~) }·
Ainsi, f admet quatre points critiques exactement.
• L'application f est de classe C
2 sur l'ouvert JR
2 , et on a, pour tout (x, y) E JR
2 :
1;; cx ,y) = 2y,
J;~ (x,y) = 1 - 2y + 2x ,
J;i cx ,y) = -2x.
En chacun des quatre points critiques de f, on calcule r,s ,t puis s
2 - rt.
On peut consigner les résultats dans un tableau :
point critique
r
s
t
s
2 - rt
résultat
(0 ,0)
0
l
0
1 > 0
non extrémum
(0, 1)
2
- 1
0
1 > 0
non extrémum
(- 1,0)
0
-1
2
1 > 0
non extrémum
( - ~ ~)
2
1
2
1 4
-> 0
- -
-
- - - < 0
mrn1mum
3 ' 3
3
3
3
4
9
On conclut que f admet un extrémum local et un seul, en ( - ~, ~) et qu'il s'agit
d'un minimum. On calcule la valeur de f en ce point: f ( - ~ , ~) = - 2 ~.
2) Extrémums globaux
Ona:
f (x , 1) = x
2 -----+ +oo,
X ----7 +oo
f (1,y) = 2y - y2 -----+ -OO ,
Y ___. +oo
donc f n'est ni majorée ni minorée.
On conclut que f n'admet pas d'extrémum global.
CoHseils
Recherche des points critiques de f
Résolution d'un système linéaire de deux
équations à deux inconnues.
Notations de Monge :
r = t; 2 (x,y), s = f~~ (x, y), t = t; 2 (x,y),
au point considéré.
Application du théorème du § 9.3.3 2) b).
541