Chapitre 9 • Fonctio ns de plusieurs varia bles réelles
Les méthodes à retenir
Extremums des fonctions numériques de plusieurs variables réelles
• Pour déterminer les extremums locaux d ' une application f : U -----+ IR. de classe C
2 sur un ouvert U de IR.
2
(ex. 9.3.2), commencer par déterminer le ou les points critiques def, c'est-à-dire les points (x ,y) de U tels que:
1
f~(x,y) = 0
fy(x,y) = 0
D'après le cours(§ 9.3 .2 théorème p. 534), si/admet un extremum local, ce ne peut être qu'en un point critique
def
En un point critique (xo, Yo) de f, calculer r, s, t :
puis calculer s 2 - rt.
- Si s
2 - rt < 0 et r > 0 , alors/ admet un minimum local en (x 0 ,y 0 ).
- Si s
2 - rt < 0 et r < 0 , alors/ admet un maximum local en (x 0 ,y 0 ) .
- Si s 2 - rt > 0 alors/n'admet pas d'extremum local en (xo,yo); on dit que/ admet un point-col en (x 0 ,y 0 ).
- Si s
2 - rt = 0, essayer :
- ou bien de montrer quef(xo + h ,yo + k) - f(xo ,yo) n'est pas de signe fixe lorsque (h,k) est voisin de (0,0) en
envisageant, par exemple, de lier les variables (h, k) , et alors/ n' admet pas d'extremum local en (x 0 ,y 0 )
- ou bien de montrer que f (xo + h ,yo + k) - f (xo,yo) est de signe fixe lorsque (h, k) est dans un voisinage de
(0,0), et alors f admet un extremum local en (xo, Yo) .
• Pour montrer qu'une fonction/ de deux variables réelles x,y n'a pas d'extremum global (ex. 9.3.2 a) àf)),
on peut essayer de construire une fonction composée, par exemple x f---+ f(x ,x), x f---+ f(x ,x
2 ), ... de limite
+oo OU -OO .
• Pour trouver les extremums globaux d'une fonction/ de deux variables réelles, on peut commencer par rechercher les extremums locaux de f, car, si f admet un extremum global en (xo,yo). Pour montrer que f admet, par
-o
exemple, un minimum global en un point (xo,yo), former f (xo + h, Yo + k) - f (xo, Yo) et montrer que cette
0
c
expression est ~ 0 pour tout (h,k) (ex. 9.3.2 h)).
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