Chapitre 9 • Fonctions de plusieurs variables réelles
9.3.4
,.
Danscecontexte,au lieu de« global »,on
\J..... dit aussi « absolu ».
.1
-g.;.....
c
::J
0
(V)
......
0
N
@
..._,
.s::
Ol
·;::
>- 0.
0
u
\J
540
Cas fréquent en pratique; exemple:
f(x,y) = x4 + y4 +x3
L'application f, à valeurs réelles, est
continue sur le compact B' ( O; B) ,
donc est bornée sur ce compact et
atteint ses bornes.
Exercices 9.3.2 à 9.3.4.
4) L'application f : IR 2 -----+ IR
, de classe
(x,y)~x3+y3
c 2 sur IR 2 , admet un point critique et un seul,
(0,0), en lequel s 2 - rt = O.
{
V xEIR+,
Comme
V x E IR~ ,
f (x,0) = x 3 > 0
f (x,0) = x 3 < 0 '
f n'admet pas d'extremum local en (0,0).
Nous verrons dans Algèbre et Géométrie MP l'étude des positions relatives locales
d'une surface et de son plan tangent en un point.
Extremums globaux
Soient XE l,p(IRP), a EX, f: X-----+ IR.
1) On dit que f admet en a un maximum global si et seulement si :
V x EX, f(x) ::::;; f(a).
2) On dit quef admet en a un minimum global si et seulement si:
V x EX, f(x) ~ f(a).
3) On dit que f admet en a un extremum global si et seulement si f admet en a un
l maximum global ou un minimum global.
)
Remarque:
li est clair que, si f admet en a un maximum (resp. minimum) global, alors f admet en a un
maximum (resp. minimum) local.
Soitf: JRP-----+ IR continue telle que: f(x)
+ oo, c'est-à-dire:
llxll--++oo
VA > 0, 3 B > 0, Vx E JRP, (llxll ~ B ===} f(x) ~ A).
Alors! admet un minimum global.
Preuve
Soit xo E JRP. Par hypothèse, il existe B E ] l lxo 11; +oo[ tel que:
V X E ]RP , (11x11 ~ B ===} f(x) ~ f(xo)).
L'application f étant continue sur le fermé borné B ' (0; B) de l'evn JRP de dimension finie, il existe
a E B ' (O; B) tel que: f(a) =
Inf
f(x).
xEB'(O; B)
Commexo E B ' (O; B) ,ona: f(a)::::;;; f(xo).
On obtient ainsi f(a) = Inf f(x) , doncf admet un minimum global en a.
x E!RP
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