Chapitre 9 • Fonctions de plusieurs variables réelles
Remarquer qu'on ne conclut pas lorsque
'
Q est positive dégénérée ou négative
~
dégénérée.
-0
0
c
::J
0
(V)
......
0
N
@
536
Intervention du théorème d'équivalence
des normes en dimension finie.
o(llhll
2 ) est négligeable devant
1 1' 111 2 ,doncdevant Q(h).
Surtout voisinage de a,f (x) - f (a)
prend des valeurs < 0 et des valeurs
> o.
2) Application à l'étude des extremums locaux des fonctions numériques
de plusieurs variables réelles
a) Cas de plusieurs variables
Dans une première lecture, on pourra directement passer au § b ). Nous utilisons ici le vocabulaire et des propriétés des formes quadratiques (voir Algèbre et géométrie MP).
Soient U un ouvert de IRP, f : U -----+ IR de classe c
2 , a E U un point critique de f.
Notons Q la forme quadratique définie sur IRP par :
Q(h) =
1) Si Q est positive et non dégénérée, alors f admet un minimum local strict en a.
2) Si Q est négative et non dégénérée, alors f admet un maximum local strict en a.
3) Si Q n'est ni positive ni négative, alors f n'admet pas d'extremum local en a.
Preuve
D'après le théorème de Taylor-Young à l'ordre 2 (cf. 1) p. 535) et puisque a est un point critique de f,
on a:
1
f(a + h) - f(a) = - Q(h) + o Cllhll
2 ).
2
/J-->Ü
l) Supposons Q positive et non dégénérée. L'application h 1-+ J Q(h) est alors une norme sur IRP .
Comme toutes les normes sur IRP sont équivalentes (cf. 1.3.2 Th. 1 p. 63), il existe (a,f3) E (IR'f.) 2 tel
que: V h E IRP, allhll ~ -./Q(h) ~ f311hll.
Par définition de o(l lhl 1
2 ), il existe 17 > 0 tel que B(a; 17) C U et que:
a
2
.
1
1
'Vh E IRP, llhll ~ 17 ===? io(llhll
2 )1~411hll
2 ~ 4Q(h) ===? o(llhll
2
) ~ -4Q(h).
On a alors:
1
1
'Vh E IRP -{0}, llhll ~ 17 ===? f(a+h)-f(a) = 2Q(h) +o(llhll
2
) ~ 4Q(h) > O.
Ceci montre que f admet un minimum local strict en a.
2) L'étude du cas où Q est négative et non dégénérée se déduit de 1) appliqué à - f au lieu de f.
3) Supposons Q ni positive ni négative.
Il existe donc x ' ,x" E IRP tels que : Q(x') < 0 et Q(x") > 0.
On a alors, pour À E IR dans un voisinage de 0 :
l
f(a+ÀX
1 )-f(a)=À 2 Q(x' )+ o (À 2 ) ~ À 2 Q(x')
À-->Ü
À-->Ü
f(a+ÀX
11 )-f(a)=À 2 Q(x" )+ o (À 2 ) ~ À 2 Q(x"),
À-->Ü
À--> Ü
ce qui montre que, sur tout voisinage de a, f prend des valeurs < f (a) et des valeurs > f (a).
On conclut que f n'admet pas d'extremum local en a.
•
Remarquer qu'on ne conclut pas lorsque
'
Q est positive dégénérée ou négative
~
dégénérée.
-0
0
c
::J
0
(V)
......
0
N
@
536
Intervention du théorème d'équivalence
des normes en dimension finie.
o(llhll
2 ) est négligeable devant
1 1' 111 2 ,doncdevant Q(h).
Surtout voisinage de a,f (x) - f (a)
prend des valeurs < 0 et des valeurs
> o.
2) Application à l'étude des extremums locaux des fonctions numériques
de plusieurs variables réelles
a) Cas de plusieurs variables
Dans une première lecture, on pourra directement passer au § b ). Nous utilisons ici le vocabulaire et des propriétés des formes quadratiques (voir Algèbre et géométrie MP).
Soient U un ouvert de IRP, f : U -----+ IR de classe c
2 , a E U un point critique de f.
Notons Q la forme quadratique définie sur IRP par :
Q(h) =
1) Si Q est positive et non dégénérée, alors f admet un minimum local strict en a.
2) Si Q est négative et non dégénérée, alors f admet un maximum local strict en a.
3) Si Q n'est ni positive ni négative, alors f n'admet pas d'extremum local en a.
Preuve
D'après le théorème de Taylor-Young à l'ordre 2 (cf. 1) p. 535) et puisque a est un point critique de f,
on a:
1
f(a + h) - f(a) = - Q(h) + o Cllhll
2 ).
2
/J-->Ü
l) Supposons Q positive et non dégénérée. L'application h 1-+ J Q(h) est alors une norme sur IRP .
Comme toutes les normes sur IRP sont équivalentes (cf. 1.3.2 Th. 1 p. 63), il existe (a,f3) E (IR'f.) 2 tel
que: V h E IRP, allhll ~ -./Q(h) ~ f311hll.
Par définition de o(l lhl 1
2 ), il existe 17 > 0 tel que B(a; 17) C U et que:
a
2
.
1
1
'Vh E IRP, llhll ~ 17 ===? io(llhll
2 )1~411hll
2 ~ 4Q(h) ===? o(llhll
2
) ~ -4Q(h).
On a alors:
1
1
'Vh E IRP -{0}, llhll ~ 17 ===? f(a+h)-f(a) = 2Q(h) +o(llhll
2
) ~ 4Q(h) > O.
Ceci montre que f admet un minimum local strict en a.
2) L'étude du cas où Q est négative et non dégénérée se déduit de 1) appliqué à - f au lieu de f.
3) Supposons Q ni positive ni négative.
Il existe donc x ' ,x" E IRP tels que : Q(x') < 0 et Q(x") > 0.
On a alors, pour À E IR dans un voisinage de 0 :
l
f(a+ÀX
1 )-f(a)=À 2 Q(x' )+ o (À 2 ) ~ À 2 Q(x')
À-->Ü
À-->Ü
f(a+ÀX
11 )-f(a)=À 2 Q(x" )+ o (À 2 ) ~ À 2 Q(x"),
À-->Ü
À--> Ü
ce qui montre que, sur tout voisinage de a, f prend des valeurs < f (a) et des valeurs > f (a).
On conclut que f n'admet pas d'extremum local en a.
•