0 {V XE IR~. f(x,0) = x
3 > 0
l/J V x E IR~. f(x,O) = x 3 < O.
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Notations de Monge.
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9.3 · Extremums des fonctions numériques de plusieurs variables réelles
Remarque:
Si Q est positive dégénérée, ou négative dégénérée, les hypothèses ne permettent pas de
conclure quant à l'existence d'un extremum local de f en a. Exemples:
· f : R 2 ~ R admet un minimum local en (0,0), et la forme quadratique
(x, y )r---+ x 2
Q: (h1,h2) t---+ hff:2(0,0) +2h1h2J;~(O,O) +h
2 J;;co,O) = 2hf
est positive dégénérée.
· f : R 2 ~ R n'admet pas d'extremum local en (0,0), et la forme quadratique
(x, y )r---+ x 3
Q : (h1 ,h2) t---+ hf J~; (0,0) + 2h 1 h2J;~(O ,O) + h~J;; (0,0) = 0
est positive dégénérée.
Soient U un ouvert de ITf . .P,f: U----+ ffi. de classe C
2 sur U, a E U, Q la forme quadratique : Q : (h 1,. . .,hp) t---+ L hihj J;'.x/a).
l ,;,i ,j,;,p
La matrice H de Q dans la base canonique de ffi.P , H = (J;'x· (a)) 1
/ •• /
est appe, J
"'' •l "' P
lée la hessienne de f en a.
Il est clair que H est symétrique réelle (d'après le théorème de Schwarz), donc (cf. Algèbre et
géométrie MP, 4.4.1 Th.) H est diagonalisable dans Mn (R). D'après Algèbre et géométrie MP,
4.4.3, en notant SpIR ( H) le spectre (réel) de H, on a :
Q dégénérée {::::::::} det(H) = 0
Q positive {::::::::} SpIR (H) c R +
Q négative {::::::::} SpIR (H) c R _
Q positive et non dégénérée {::::::::} SpIR ( H) C R~
Q négative et non dégénérée {::::::::} SpIR (H) C R".' ...
b) Cas des fonctions de deux réelles variables
Soient U un ouvert de ffi.
2 , f : U ----+ ffi. de classe C
2 sur U, a E U un point critique de f
On noter= J;i(a), s = J;~ (a), t = 1;i (a)
1) s· {s
2
-rt < Ü
1
r > 0
'
alors f admet un minimum
local strict en a.
z
y
X
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