Le but de ce paragraphe est de montrer
que a (x) est un o(llx - all
2 )
lorsque x tend vers a.
\JJ On remplace~ par fo 1 ( 1 - t )dt.
-0
0
c
::J
0
(V)
......
~ ~
'"
@~
"
.._, _
..c O' l
. ~-al
~ -~
>- ~
a. ~
Exercice 9.3.1.
0 "'
Us
<::
ï5.
g
ë
..c:
Q.
j
'8 <::
"
0
@
9.3 • Extremums des fonctions numériques de plusieurs variables réelles
D'après le théorème de dérivation d'une fonction composée (9.1.3 2) Th. p. 500) :
p
puis:
VtE[O;l],
1
(a+th),
j=l
V t E [O; 1),
(a+ th).
l ~ i . j ~ p
En appliquant la formule de Taylor avec reste intégral (cf. AnaJyse MPSI, 6.4.5 Th.) à 0 et J, on obtient :
1
(1 - t)
loi
c'est-à-dire: f(x) = f(a) + " hj J; (a)+ " hihj (1 - t )J;'x (a + th) dt.
L..,
J
~
0
,,
J = l
1 ~ 1 ,J ~ P
•Considérons l'application a : B(a; r ) ----+ IR définie par:
L
p
1
IL
"
a(x ) = f (x) - f (a) -
h 1 · f x (a) - -
h;h 1 f x x (a).
. }
2
' }
j= I
l ~ i ,j ~ p
Soit s > 0 fixé. Puisque les dérivées partielles secondes de f sont continues en a, il existe
17 E]O; r[ tel que, pour tout x ' de U :
llx' - alloo < 11 ==} (v (i, j) E {l, ... ,p} 2 , I
J:.x (x' )- f:!x(a) I < s).
' J
~ r J
Soit x EU tel que llx - alloo < 17. On a, pour tout (i ,j) de {l , ... , p} 2 :
l!o
1
(1 - t)J;;xJ (a+ th) dt - ~ J;;xJ (a) 1 = l!o
1
(1 - t) (!;;xJ (a+ th) - J;;x/ a)) dtl
~ r\1 -t) IJ:'x (a + th) - J;'x.(a )I dt ~ s r\1 -t)dt = ~.
lo
'
1
' '
lo
2
s
sp 2
2
On en déduit, en utilisant l'inégalité triangulaire:
la(x)I ~ L, lh ;hj l2 ~ 2 llhll 00 ,
l ~ i.j ~ p
et on conclut : a(x ) = o (llx - all 2 ).
x ----:i- a
On a ainsi prouvé le théorème suivant.
Théorème de Taylor-Young à l'ordre 2 pour une fonction
numérique de classe C 2
Soient V un ouvert de ~P , a E U,f : V -----+ ~ de classe C 2 . On a:
où on a noté (h 1 , • •• ,hp) = h .
Remarque:
On peut exprimer le théorème précédent ainsi: si f est de classe c 2 au voisinage de a, alors
f admet un développement limité à l'ordre 2 en a, dont la partie régulière est:
~ 1
1" "
f (a)+ L.., hj f x 1 (a) + 2 . L.., h ;h j fx;xJ (a) ,
j= l
k i ,j ~ p
où l'on a noté hj = Xj - aj , pour 1 ~ j ~ p.
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que a (x) est un o(llx - all
2 )
lorsque x tend vers a.
\JJ On remplace~ par fo 1 ( 1 - t )dt.
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9.3 • Extremums des fonctions numériques de plusieurs variables réelles
D'après le théorème de dérivation d'une fonction composée (9.1.3 2) Th. p. 500) :
p
puis:
VtE[O;l],
1
(a+th),
j=l
V t E [O; 1),
(a+ th).
l ~ i . j ~ p
En appliquant la formule de Taylor avec reste intégral (cf. AnaJyse MPSI, 6.4.5 Th.) à 0 et J, on obtient :
1
(1 - t)
loi
c'est-à-dire: f(x) = f(a) + " hj J; (a)+ " hihj (1 - t )J;'x (a + th) dt.
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J = l
1 ~ 1 ,J ~ P
•Considérons l'application a : B(a; r ) ----+ IR définie par:
L
p
1
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a(x ) = f (x) - f (a) -
h 1 · f x (a) - -
h;h 1 f x x (a).
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l ~ i ,j ~ p
Soit s > 0 fixé. Puisque les dérivées partielles secondes de f sont continues en a, il existe
17 E]O; r[ tel que, pour tout x ' de U :
llx' - alloo < 11 ==} (v (i, j) E {l, ... ,p} 2 , I
J:.x (x' )- f:!x(a) I < s).
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Soit x EU tel que llx - alloo < 17. On a, pour tout (i ,j) de {l , ... , p} 2 :
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1
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1
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2
On en déduit, en utilisant l'inégalité triangulaire:
la(x)I ~ L, lh ;hj l2 ~ 2 llhll 00 ,
l ~ i.j ~ p
et on conclut : a(x ) = o (llx - all 2 ).
x ----:i- a
On a ainsi prouvé le théorème suivant.
Théorème de Taylor-Young à l'ordre 2 pour une fonction
numérique de classe C 2
Soient V un ouvert de ~P , a E U,f : V -----+ ~ de classe C 2 . On a:
où on a noté (h 1 , • •• ,hp) = h .
Remarque:
On peut exprimer le théorème précédent ainsi: si f est de classe c 2 au voisinage de a, alors
f admet un développement limité à l'ordre 2 en a, dont la partie régulière est:
~ 1
1" "
f (a)+ L.., hj f x 1 (a) + 2 . L.., h ;h j fx;xJ (a) ,
j= l
k i ,j ~ p
où l'on a noté hj = Xj - aj , pour 1 ~ j ~ p.
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