Chapitre 9 • Fonctions de plusieurs variables réelles
Calcul de la dérivée partielle première
de f par rapport à la première place en
fonction des dérivées partielles
premières de g et de f
'
Notations abusives.
•
.._
..._,
.s::
Ol
·;::
L'étude de la multiplication est un cas
particulier du résultat précédent
(n = ! ).
Exercices 9.1.1 à 9.1.4.
>< ·,· > estunproduitscalairesur E .
g. ..;...o"
u
502
Exemple:
Soient!: (x,y,z) ~ Cf1 (x ,y ,z),f2(x,y,z)) E IR 2 et g: (u,v) ~ g(u,v) E IR , de classe
C 1 sur des ouverts convenables. Alors g o f est de classe C 1 et en notant M = (x, y, z):
d'où par exemple :
af1 (M)
ay
ati(M)
ay
af1 (M ))
az
af:
,
_ 2 (M)
az
Pour alléger les écritures, souvent, on n'écrit pas le point «en lequel on se place», et on
confondu (place, ou variable), fi (fonctio n), ! 1 (x ,y ,z) (réel), pour obtenir :
a(g o f)
ag au
ag av
- - - = - - + - - .
ax
au ax
av ax
I.' , •• ····-'J'•JU l
Soient U un ouvert de JRP, À: U----+ JR ,f,g: U----+ JRn.
Si À ,f,g sont de classe C
1 sur U, alors Àf + g est de classe C
1 sur U.
Preuve
L'application Àf + g est la composée de U ---+ IR x !Rn x !Rn et de IR x !Rn x !Rn ---+ !Rn, qui
xr--+ (À(x),f (x),g(x ))
(t ,u , v)r--+tu+v
sont de classe C 1 .
Remarque:
L'ensemble C
1 (U) des applications de U dans IR de classe C 1 sur U est une algèbre pour
les lois usuelles (la 3ème loi étant la multiplication).
3) Gradient d'une application de classe C
1 sur un ouvert d'un espace euclidien
Soient (E, < ., . > ) un espace vectoriel euclidien, U un ouvert de E,f : U ----+ lR de
classe C
1 sur U. Pout tout a de U, il existe un élément et un seul de E, appelé gra----+
dient de f en a et noté grad f (a), tel que :
Vh E E,
-----+
< gradf(a), h > = (daf)(h).