Autrement dit, on compose ici des
développements limités d'ordre 1.
\JJ Cf.1.3.2 Prop.1 p.64.
'J Obtentiond'unDL1(a) pourg o f.
"'O
0
c
::J
0
(V)
......
0
N
@
[Z
> o.
0
u
Expression des dérivées partielles
premières de g o f en a, à l'aide des
dérivées partielles premières de f en a
et des dérivées partielles premières de
g enf (a).
9.1 ·Dérivées partielles premières
On en déduit, en utilisant la linéarité de dJ(a)g :
V h E Uo, g(f(a +h)) = g(f(a) + ((daf)(h) + llh lle1(h)))
= g(f(a)) + (df(a) g) o (daf)(h) +a(h),
OÙ
a(h) = llhll(df(a)g)(e 1(h)) + llCd,,f)(h) + llh lle1(h)lle2((daf)(h) + ll h lle1(h)).
Notons L = (df(a>g ) o (daf); Lest linéaire.
Puisque da f E .C(JRq ,JRP ) et df(a)g E .C(JR P ,IRn), il existe (A, B) E (IR.+) 2 tel que :
On a alors:
{
V h E IRq,
Vk E IR. 1 ',
ll(daf)(h)ll:::;; All hll
ll(df {
ll(dJ(aJg)(e1(h)) ll:::,; Blle1(h)ll
llCdaf) (h) + ll hlle1 (h)l l:::,; llh ll(A + lle1 (h)ll).
D'autre part, par composition d'applications continues: &2 ((da f)(h) + l lhl ls1 (h)) ~ O.
h---+0
Ceci montre que a est de la forme a(h) = l lhl ls(h) où: s : Uo -----+ Rn vérifiee(h) ~ O.
h---+ 0
On obtient ainsi :
[
(go f)(a + h) =(g o .f)(a) + L(h) + llh lls(h)
s(h) ~O.
h---+0
• Pour tout j de { 1, ... , p}, on a alors :
Ceci montre que g o f admet des dérivées partielles premières en tout point a de U, et :
V j E (1 ,. . .,p), (Dj(g o f))(a) = L(ej).
Notons fi ,. .. ,Jp les fonctions composantes de f, g1,. .. ,gn celles de g, (g o f) 1,. .. , (g o f)n celles
de g o f. On a, pour tout j de { 1,. .. , q}, et en notant de la même façon les bases canoniques de
JRCf,JRP ,JRn:
L(ej) = (dJ(a) g) o (daf)(ej) = (dJ(a )g) ( t D j fk(a)ek ) = t Djfk(a) (dJ(a )g ) (ek)
k=I
k= I
= ~Djfk(a)(~Dk8i (f(a))ei) = ~ (~Dkgi (f(a))Djfk(a))ei.
n
Comme, d'autre part: L(ej) = L Dj (g o f)i (a)ei,
i=I
p
on déduit: Vi E {l,. .. ,n ), V j E {l,. .. ,q), Dj(g o f);(a) = L Dkg;(f(a))Djfk(a).
k=I
•Le résultat précédent montre que les dérivées partielles premières de g o f s'expriment comme sommes
de produits et composées de f et des dérivées partielles premières de f et g ; il en résulte que les dérivées
partielles premières de go f sont continues sur U, et donc g o f est de classe C 1 sur U.
•En passant aux matrices dans les bases canoniques de !Rn ,JRP ,Rq, on obtient :
l gof (a) = 1 8 (f(a)) · l 1(a), et donc d 0 (g o f)= (df(a) g) o (d 0 f).
•
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