1 Le dual E* de E est, par définition,
\J.... l'ensemble des formes linéaires sur E;
autrement dit:
E* = L(E, IR) .
Cf.aussi P 1.2, 6) p.98etp.573,pourune
étude analogue.
Ainsi, les coordonnées (dans la base
canonique de JRP) du gradient def,où
f : V c JRP - IR est de classe
C 1 sur V, sont les dérivées partielles
premières de f
9.1 ·Dérivées partielles premières
Preuve
1) Nous allons construire (indépendamment de f) un isomorphisme de E dans le dual E* de E.
Pour tout x de E, considérons y~
Il est clair que, pour tout x de E , V À E IR, V(y ,z) E E 2 ,
=À< x,y > + < x,z >= À Ainsi, nous pouvons considérer l'application e : E -----+ E * .
X~ • e est linéaire, car: 'VÀ E IR, V x1 ,x2 E E,Vy E E,
=À< X ( ,y>+< xz ,y > = À. • e est injective car, si XE E est tel que 2 = < X,X > = donc x =O.
Comme E et E* sont de dimensions finies et de même dimension, il en résulte que e est un isomorphisme de IR -ev.
2) Soit a E V ; puisque da f E E*, d'après 1 ), il existe w E E unique tel que :
V h E E , < w ,h > = (daf)(h).
•
On considère ffi.P muni de sa base canonique B = (e 1 ,. •• ,ep) et de son produit
p
scalaire canonique ((xi,. .. ,xp). (y1,. .. ,yp)) 1----+ L Xj Yj.
j= I
Soient U un ouvert de ffi.P ,f : U ~ ffi. de classe C
1 sur U. On a:
Va EU,
Preuve
~
P of
gradf(a) = L: -(a)ej.
j=l OXj
Pour a E V fixé, on a, pour tout h = (h 1, ... ,h p) de JRP (cf. 1) p. 499) :
p
af
" af
(da f)(h) = 2: - (a)hj = < 2: - . (a)ej ,h >,
j= I axj
j= I axj
~
par
~
d'où, d'après l'unicité de gradf(a): L: - · - (a)eJ = gradf(a).
J= l axj
•
Exemple d'étude de dérivées partielles premières
On considère :
1
x 3
f: IR
2 -----+ IR, (x ,y) 1----+
x
2
: y
2
si (x,y) =!= (0,0)
si (x,y) = (0,0).
Étudier la continuité de f , l'existence et la continuité des dérivées partielles premières de f.
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