8.3 · Systèmes différentiels linéaires du premier ordre
Ré (A 1
) < 0
foyer stable
0 est un point attractif
Ré (A 1
) = 0
3 ème cas : À 1 = À2 et A diagonalisable dans M 2 (IR)
Ré (A 1 ) > 0
foyer instable
0 est un point répulsif
Dans ce cas, A = À 1 !2, et la solution générale est donnée par : {
X : t r----+ xoeÀ 1 t
Y : t r----+ YoeÀ i r .
Tl est clair que, si À 1 = 0, les orbites sont des singletons.
L'allure des orbites est la suivante :
y
À 1 <0
nœud stable
0 est un point attractif
X
4ème cas : À 1 = À2 et A non diagonalisable dans M2 (~)
Dans ce cas, A est trigonalisable dan s M 2 (~).
y
À 1 >0
nœ ud instable
0 est un point répulsif
Il existe P E GL2(~) telle qu 'en notant T = ( Àd
1 ) , on ait A = PT p - l _
À]
X
En notant ( : ) la colonne définie par ( ~ ) = P ( : ) , la résolution de (E) se ramène à celle
de ( :: ) = ( ~ À \) ( : ) , c'est-à-d ire { :: : ~~s +;, dont la solution générale est donnée par :
Vt E ~. {
s(t) = (so + ( ot)eÀlf
ç'(t) = ;oé 11
En notant V1 , V2 les colonnes de P, l'allure des orbites dans le repère ( 0; V1 , V2) est la suivante :
A 1 > 0
nœud dégénéré stable
0 est un point répulsif
A 1 >0
nœud dégénéré stable
0 est un point répulsif
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