-0
0
c
::J
0
(V)
......
0
N
@
..._,
.s::
Ol
·;::
>- 0.
0
u
474
Chapitre 8 • Équations différentielles
Les flèches indiquent, sur une orbite,
l'évolution en fonction de t.
On a donc ici À 1 i= >..2, car sinon,
commeÀ2 = Ài,onaurait:>..1 E R
Ayant utilisé une diagonalisation dans
M 2 (C ) ,il faut maintenant revenir aux
solutions à valeurs réelles.
En se plaçant dans le repère ( 0; V1 , V2) , l'allure des orbites est la suivante :
À. 1 < Ü etÀ. 2 < Ü
nœud propre stable
0 est un point attractif
zème cas : (À J , À2) E (C - IR) 2
On a alors À 2 = À 1 .
À. 1 < Ü<À 2
col (instable)
Û <À 1 et Ü <À 2
nœud propre instable
0 est un point répulsif
La matrice A est diagonalisable dans M1(C) ; il existe P E GL2(1C) telle qu'en notant
D = (À~ À
0
2
), on ait A= PDP - 1 . Notons V1 , V2 les colonnes de P, V1 = (;),où
(a,f3) E C 2 . On a alors V2 = V 1 = (~).
Considérons Q = ( ~ i . ) ; il est clair que Q est inversible et que
-1
En notant B = Q- 1 D Q et R = P Q, on a :
A= PDP1 = PQBQ -
1 ?1 = RBR1
R = (af3 ++ ~ f3 i(a - ~)) GL (IR)
i(f3 _ {3) E
2
-1 - ~ ( 1
Q -2
.
-1
Notons u = Ré(À1), v = lm(À1), U1 , U2 les colonnes de R, s, l; définis par :
~)·
Un couple (x ,y) est solution de (S) sur IR si et seulement si le couple associé (s,l;), par chan{
S' =us - vl;
gement de base, est solution sur IR de :
,
l; =vs +ut;.
Notant enfin z = s +il;, le système précédent se ramène à z' = À 1 z, dont la solution générale
est z : t t-----+ zoé
11 (zo E q.
Ainsi, les orbites sont des spirales logarithmiques (si Ré( À 1) op 0) ou des ellipses (si
Ré(À1)=0):