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476
Chapitre 8 • Ëquations différentielles
On peut résumer une partie des résultats précédents par un schéma :
det (A) •
L1 =0
•
L1<0 ..
\
Foyer
Foyer
:LI > 0
'
.
•,
stable,
instable,
/
•••• attractif
répulsif /
Nœud propre ••••
•••• Nœud propre
stable, attractif •••••••
• •• •••• instable, répul sif
·----------------------------=!':·--._...~~ ----------------------------...
0
tr (A)
Col (instable)
Les méthodes à retenir
Systèmes différentiels linéaires du premier ordre
• Pour résoudre un système différentiel linéaire du premier ordre à coefficients constants sans
second membre :
(E 0 ) Vt E l , X'(t) = AX(t),
utiliser une diagonalisation ou une trigonalisation de A. Si A est diagonalisable, la solution générale de (Eo) est
directement donnée par le théorème du § 8.3.6 p. 463 :
11
Vt E l , X (t) = :~::::>ieÀ;/vi
i=I
ou )1.J , • .. , À 11 sont des valeurs propres de A,(Vi , . .. , V 11 ) est une base de vecteurs propres de A respectivement
associés à À1 , . .. , À 11 et c1 , ... ,en E lK sont quelconques .
• Pour résoudre un système différentiel linéaire du premier ordre à coefficients constants et avec
second membre :
(E)
Vt E l , X'(t)=AX(t)+B (t)
utiliser une diagonalisation ou une trigonalisation de A. Si, par exemple, A est diagonalisable,
en notant A= P DP1 , où P E GLnOK) , D E D,,(IK), et Y = p-I X , on a:
X ' = AX + B <==:::}Y' = DY + p -
1 B,
et on résout les équations séparées formant ce dernier système. On revient enfin à X par X = P Y.
• Certaines ED à inconnue matricielle peuvent se ramener à des systèmes différentiels linéaires du premier ordre
(ex. 8.3.7).