' ÜJ Raisonnement par l'absurde.
\j Raisonnement par l'absurde.
'J Raisonnement par l'absurde.
\j Raisonnement par l'absurde.
Utilisation de <, comme dans
y
l'exemple 2) plus haut.
8.2 · Le théorème de Cauchy-Lipschitz
En utilisant le théorème des valeurs intermédiaires, on obtient donc :
V x E [x 0 ; +oo[n / , y'(x) < 0,
et donc y est strictement décroissante sur [xo; ,B[.
Si f3 E JR, alors (cf. 8.2.1 4) a) Propp. 437) y n'admet pas de limite en .s-, donc y ~ - oo .
fr
Mais alors y'(x ) = (y(x)) 2 - x------+ + oo, contradiction.
x- f3Ceci montre f3 = +oo.
Comme y est décroissante sur [xo; +oo[, y
admet en +oo une limite finie ou la limite
-OO.
Supposons y~ l E JR .
+oo
Alors y'(x) = y(x) 2 - x ~ - oo, donc
x- +oo
y (x ) = y(xo) + { x y'(t)dt ~ - 00,
lxo
x-+oo
contradiction.
Donc y ~ - oo.
+oo
• Etude à gauche de xo
X
Supposons que y' ne s'annule en aucun point de ]a ; xo]. D'après le théorème des valeurs
intermédiaires, on a alors :
(V x E]a; xo] , y' (x) < 0) , d'où (V x E]a; xo], x = y (x) 2 - y' (x) > 0) , donc a~ O.
Comme y est décroissante sur ]a ; xo ], et d'après 8.2.1 4) a) Prop. p. 437, on déduit
y~ + oo, puis y'(x) = y(x) 2 -x------+ + oo, contradiction.
a +
x ~ a+
Ceci montre que y' s'annule en au moins un point de ]a ; xo], donc (étude du début) en un point
et un seul, noté x 1 ; on a donc a < XJ < xo. L'étude des zéros de y' montre :
V X E]a; X ][, y'(x) > O.
Supposons a = -oo .
On a: y'(x ) = y(x) 2 - X~ + OO, puis y(x) = y(xo) + r y'(t) dt~
x--->-oo
lxo
x- -oo
- OO .
Il existe donc x2 E] - oo; xi] tel que: V x E] - oo; x2 ], y(x) < O.
1
rx2 y'(t)
l
1
On a, pour tout x de] - oo; x2 [ : lx (y(t)) 2 dt = y(x) - y(x
2
)
~
- y(x2) ,
1
X2 y'(t)
1X2 (
t
)
1X2
et
- - - dt=
1- - - - dt ~
dt =x2 -x ~ +oo,
.\ (y(t))2
X
(y(f))2
X
X- -00
contradiction.
Y
Ceci prouve : a E lR .
D'après 8.2.1 4) a) Prop. p. 437, y n'a
pas de limite finie en a+. Comme
y croît s ur ]a ; XJ] , on conclut
y~ -OO.
a+
a
Allure de la courbe intégrale
d'une solution maximale
lorsque y 0
2 -x 0 < 0
X
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