Chapitre 8 • Équations différentielles
g Raisonnement par l'absurde.
-0
0
c
::J
0
(V)
......
0
N
@
..._,
.s::
Ol
Utilisation de Y~ ,comme dans le casa)
y
précédent.
·~'7 \ Rappelons (cf.§ 8.1.3 Déf.2 p.434) qu'on
@- ....,;.._) appelle point d'équilibre du système
U
différentiel autonome (5) tout point
446
(xo,yo) de JR
2 tel que:
1
xo (I - Yo) = 0
(xo - l )yo = O.
/3) Cas où yJ - xo = 0
L'étude est analogue à la précédente et les courbes intégrales ont la même allure.
y) Cas où yJ - xo > 0
Une partie de l'argumentation du § a) reste valable et montre: a E IR et lim y = -oo.
a+
S'il existe XJ E I tel que y' (x1) = 0 , on retombe dans les cas a) ,{3) précédents.
Sinon, on a : (V x E I , y' (x) > 0) , y est strictement croissante.
Supposons f3 = +oo .
Comme (y(x)) 2 = x + y'(x) > x et que y est strictement croissante,
on déduit y(x) ------+ + oo.
x---+ +oo
Il existe donc x3 E]xo; + oo[ tel que: V x E [x3; +oo[, y(x) > O.
l
x y'(t)
1
1
On a, pour x E [x3; +oo[:
- - - dt - - - - - -
------+
x 3 (y(t))2
- y(x3)
y (x)
x---+ +oo
y(x3)
Mais d'autre part :
'V XE (x 3; +oo[, y(x) = y(x3) + r y'(t) dt ~ y(x3) + (x - X3)y' (xo) ,
l x3
t
donc - - - -
0 d'où l'on déduit aisément
(y(f ))2 t---+ +oo '
l x y' (t) lx ( t )
- - - dt =
1 - - - - dt ------+ + OO,
.x3 (y'(t))2
x3
(y(f ))2
x ---++oo
Ceci montre f3 E IR.
y
contradiction .
Allure de quelques
courbes intégrales
de solutions
maximales de (E)
X
4) Étude des solutions maximales du système différentiel autonome
(S) {
x ' = x( l - v)
y' = (X - l)y .
Considérons le système différentiel autonome (de Volterra) (S) {X: = x(l - Y)_ servant dans
y = (x - l)y
la modélisation d'un système proie-prédateur, où x ,y sont à valeurs dans ]O; +oo[.
Remarquons d'abord que (S) admet un point d'équilibre et un seul, (1, 1) , et que le couple (1, 1)
(applications constantes) est solution de (S) sur IR .
Puisque l'application F: ]O; +oo[
2 ----+ IR
2 est de classe C 1 sur ]0; +oo[ 2 le théorème de
(x ,y)>---->(x ( l- y ) ,(x- l)y)
Cauchy-Lipschitz montre que, pour tout (xo .Yo) de ]O; +oo[
2 , il existe une orbite et une seule
passant par (xo.Yo).
g Raisonnement par l'absurde.
-0
0
c
::J
0
(V)
......
0
N
@
..._,
.s::
Ol
Utilisation de Y~ ,comme dans le casa)
y
précédent.
·~'7 \ Rappelons (cf.§ 8.1.3 Déf.2 p.434) qu'on
@- ....,;.._) appelle point d'équilibre du système
U
différentiel autonome (5) tout point
446
(xo,yo) de JR
2 tel que:
1
xo (I - Yo) = 0
(xo - l )yo = O.
/3) Cas où yJ - xo = 0
L'étude est analogue à la précédente et les courbes intégrales ont la même allure.
y) Cas où yJ - xo > 0
Une partie de l'argumentation du § a) reste valable et montre: a E IR et lim y = -oo.
a+
S'il existe XJ E I tel que y' (x1) = 0 , on retombe dans les cas a) ,{3) précédents.
Sinon, on a : (V x E I , y' (x) > 0) , y est strictement croissante.
Supposons f3 = +oo .
Comme (y(x)) 2 = x + y'(x) > x et que y est strictement croissante,
on déduit y(x) ------+ + oo.
x---+ +oo
Il existe donc x3 E]xo; + oo[ tel que: V x E [x3; +oo[, y(x) > O.
l
x y'(t)
1
1
On a, pour x E [x3; +oo[:
- - - dt - - - - - -
------+
x 3 (y(t))2
- y(x3)
y (x)
x---+ +oo
y(x3)
Mais d'autre part :
'V XE (x 3; +oo[, y(x) = y(x3) + r y'(t) dt ~ y(x3) + (x - X3)y' (xo) ,
l x3
t
donc - - - -
0 d'où l'on déduit aisément
(y(f ))2 t---+ +oo '
l x y' (t) lx ( t )
- - - dt =
1 - - - - dt ------+ + OO,
.x3 (y'(t))2
x3
(y(f ))2
x ---++oo
Ceci montre f3 E IR.
y
contradiction .
Allure de quelques
courbes intégrales
de solutions
maximales de (E)
X
4) Étude des solutions maximales du système différentiel autonome
(S) {
x ' = x( l - v)
y' = (X - l)y .
Considérons le système différentiel autonome (de Volterra) (S) {X: = x(l - Y)_ servant dans
y = (x - l)y
la modélisation d'un système proie-prédateur, où x ,y sont à valeurs dans ]O; +oo[.
Remarquons d'abord que (S) admet un point d'équilibre et un seul, (1, 1) , et que le couple (1, 1)
(applications constantes) est solution de (S) sur IR .
Puisque l'application F: ]O; +oo[
2 ----+ IR
2 est de classe C 1 sur ]0; +oo[ 2 le théorème de
(x ,y)>---->(x ( l- y ) ,(x- l)y)
Cauchy-Lipschitz montre que, pour tout (xo .Yo) de ]O; +oo[
2 , il existe une orbite et une seule
passant par (xo.Yo).