Chapitre 8 • Équations différentielles
Puisque y" est continue et que
y
11 (x1) < 0, y" est < 0 sur un
voisinage de xi, et donc y' est
strictement décroissante sur un
voisinage de x I ·
\JJ Raisonnement par l'absurde.
-0
0
c
::J
0
(V)
......
0
N
@
..._,
.s::
Ol
·;::
>- 0.
0
u
\JJ Raisonnement par l'absurde.
444
1
]x1 - {3; Xi + {3[C 1
Il existe donc f3 > 0 tel que:
V x E]xi - f3; xi[, y(x) - ,jX > 0
V X E]x1; X] + f3[, y(x) - ,jX < 0
1
]x1 - l') ; XJ + l')[C 1
En notant l') = Min(a,{3) > 0, on a donc:
V x E]xi - l'); xi[, y'(x) > 0
'lx E]xi ; xi +l'JL y'(x) < 0
2 ème méthode :
Puisque y est dérivable sur let y'= y 2 - x , y est de classe c 2 sur 1 (et même C
00 sur/) et
y"= 2yy' - 1. En particulier, y"(x i ) = -1 < O.
{
]Xi - Y; Xi + Y ( C f
Il existe donc y > 0 tel que :
y' est strictement décroissante sur ]x1 - y ; xi + y[.
Comme y' (x1) = 0 , on obtient : {
V X E]XJ - y; XJ [,
'lx E]x1 ; x1 +y[,
Ceci montre que les zéros de y' sont isolés dans /.
• Supposons que y' admette aux moins deux zéros
xi ,x2 distincts :
y
y'(x) > 0
y'(x) < O.
y
-- -- --y
--- y= x2
--y
X
--- y= x2
-1
0 ~ Xi < X z
X1 E / ,
X2 E /
0 1--~~~--+~~~~~~~+
x i
X
y' (x1) = y' (x2) =O.
D'après l'étude précédente, y' (x ) < 0 sur un voisinage à droite de xi, et y' (x) > 0 sur un voisinage à gauche de x2 . Le théorème des valeurs intermédiaires montre alors que y' admet au
moins un zéro dans ]x1; x2[.
En réitérant, on construit une suite (x 11 ) 11 ;;, J de zéros de y' dans [x1; x2], formée de termes deux
à deux distincts.
Comme [xi ; x2] est compact, (x 11 ) 11 ;;, J admet au moins une valeur d'adhérence a dans [x1; x2]
(donc a E / ).Il existe une extractrice Π: N ----+ N telle que X a(n) ----+ a .
1100
Puisque (V n E N, y' (Xa ( 11 >) = 0) et que y' est continue, on déduit y'(a) =O. Mais alors a est
un zéro de y' dans / , non isolé, d'où une contradiction.
Ainsi, y' admet au plus un zéro.
a) Cas où yJ - xo < 0
• Etude à droite de xo
S'il existe xi E]xo ; +oo[ tel que y' (x1) = 0, alors y' (x) > 0 sur un voisinage à gauche de xi
comme y' (xo) < 0 , le théorème des valeurs intermédiaires montre que y' s'annule au moins une
fois dans ]xo; xi[, contradiction puisque y' aurait au moins deux zéros.
Puisque y" est continue et que
y
11 (x1) < 0, y" est < 0 sur un
voisinage de xi, et donc y' est
strictement décroissante sur un
voisinage de x I ·
\JJ Raisonnement par l'absurde.
-0
0
c
::J
0
(V)
......
0
N
@
..._,
.s::
Ol
·;::
>- 0.
0
u
\JJ Raisonnement par l'absurde.
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]x1 - {3; Xi + {3[C 1
Il existe donc f3 > 0 tel que:
V x E]xi - f3; xi[, y(x) - ,jX > 0
V X E]x1; X] + f3[, y(x) - ,jX < 0
1
]x1 - l') ; XJ + l')[C 1
En notant l') = Min(a,{3) > 0, on a donc:
V x E]xi - l'); xi[, y'(x) > 0
'lx E]xi ; xi +l'JL y'(x) < 0
2 ème méthode :
Puisque y est dérivable sur let y'= y 2 - x , y est de classe c 2 sur 1 (et même C
00 sur/) et
y"= 2yy' - 1. En particulier, y"(x i ) = -1 < O.
{
]Xi - Y; Xi + Y ( C f
Il existe donc y > 0 tel que :
y' est strictement décroissante sur ]x1 - y ; xi + y[.
Comme y' (x1) = 0 , on obtient : {
V X E]XJ - y; XJ [,
'lx E]x1 ; x1 +y[,
Ceci montre que les zéros de y' sont isolés dans /.
• Supposons que y' admette aux moins deux zéros
xi ,x2 distincts :
y
y'(x) > 0
y'(x) < O.
y
-- -- --y
--- y= x2
--y
X
--- y= x2
-1
0 ~ Xi < X z
X1 E / ,
X2 E /
0 1--~~~--+~~~~~~~+
x i
X
y' (x1) = y' (x2) =O.
D'après l'étude précédente, y' (x ) < 0 sur un voisinage à droite de xi, et y' (x) > 0 sur un voisinage à gauche de x2 . Le théorème des valeurs intermédiaires montre alors que y' admet au
moins un zéro dans ]x1; x2[.
En réitérant, on construit une suite (x 11 ) 11 ;;, J de zéros de y' dans [x1; x2], formée de termes deux
à deux distincts.
Comme [xi ; x2] est compact, (x 11 ) 11 ;;, J admet au moins une valeur d'adhérence a dans [x1; x2]
(donc a E / ).Il existe une extractrice Π: N ----+ N telle que X a(n) ----+ a .
1100
Puisque (V n E N, y' (Xa ( 11 >) = 0) et que y' est continue, on déduit y'(a) =O. Mais alors a est
un zéro de y' dans / , non isolé, d'où une contradiction.
Ainsi, y' admet au plus un zéro.
a) Cas où yJ - xo < 0
• Etude à droite de xo
S'il existe xi E]xo ; +oo[ tel que y' (x1) = 0, alors y' (x) > 0 sur un voisinage à gauche de xi
comme y' (xo) < 0 , le théorème des valeurs intermédiaires montre que y' s'annule au moins une
fois dans ]xo; xi[, contradiction puisque y' aurait au moins deux zéros.