r:
Une équation de Riccati est une ED de
\J_. la forme :
y'+ay+by2=c,
-0
0
c
::J
0
(V)
......
0
N
D cri
·;::
>- 0.
0
u
où a, b, c sont des fonctions.
Puisque y (x) + ./X > 0 au voisinage dex1, y(x) +./X et y' (x) sont
du même signe au voisinage dex1.
8.2 • Le théorème de Cauchy-Lipschitz
• On montre de même que l est minoré.
Ainsi, l'intervalle de définition de chaque solution maximale est borné.
L'allure des courbes intégrales représentant les solutions maximales est la suivante :
X
3) Etude qualitative des solutions maximales de l'ED
d'inconnue y à valeurs réelles
Il s'agit ici encore d'une équation de Riccati, sans solution évidente.
(E) y' = y 2 - x,
Considérons U = IR 2 (qui est un ouvert de IR 2 ) et f : U ~ IR . Comme f est de classe C 1
(x,y)t---+y 2 -x
sur U, d'après le Théorème de Cauchy-Lipschitz (8.2.1 3) p. 437), pour tout (xo,Yo) de IR 2 , il
existe une solution maximale et une seule du problème de Cauchy (C) {y'(=)! (x,y), et l'intervalle
Y XQ = YO
de définition de cette solution maximale est ouvert.
Soient (xo,Yo) E IR 2 , y la solution maximale de (C), I =]a; {3[ ((a ,{3) E (IB) 2 ) l'intervalle de
définition de y.
Etude des zéros de y'
•Soit x1 un zéro de y' (s'il en existe); alors x1 = (y(x1)) 2 - y'(x1) = (y(x1)) 2 ~ O.
Supposons par exemple (x1 > 0 et y(x1) > 0), les deux autres cas (x 1 > 0, y(x 1 ) < 0),
(x1 = 0) se traitant de façon analogue.
Montrons que x1 est isolé dans /.
Jère méthode :
l
'V x E /, (y(x) - Jx)(y(x) + Jx) = y'(x)
Comme
x r----+ y(x) + Jx est continue sur I
y(x1) + .JX1=2.JX1 > 0,
il existe a > 0 tel que :
1
]x1 - a; x1 + a[c l
' l
y' (x) < 0 {::::::}
y' (X) = 0 {::::::}
y' (X) > 0 {::::::}
y(x) - Jx < 0
y(x) - Jx = 0
y(x) - Jx > 0
Au voisinage de XJ, on dispose des DL(O) suivants (variable h , h ~ 0) :
d'où
l
y(x1 + h) = y(x1) + hy' (x? + o(h) = .JX1 + o(h)
JXJ+h = .JX1 1 + - = .JX1 + - - h +o(h)
(
h)~
1
,
XJ
2.JX1
1
y(x1 + h) - Jx1 + h ~ - - - h .
h-> 0
2.JX1
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