-0
0
c
:J
0
(V)
.--t
0
N
@
.......
.!::
O'l
·;::::
>0.
0
u
426
Chapitre 7 • Séries de Fourier
le réel t par une valeur particulière (très simple), et en appliquant la formule de Parseval (pour f à valeurs réelles
par exemple) :
1 1
(a )2 1 +oo
~
(f(t))
2 dt = ~ + - I)a~ + b~).
T [ T ]
2
2 n= I
Les sommes de séries dont le terme général ressemble à a 11 ou b 11 proviennent souvent du théorème de Dirichlet ;
les sommes de séries dont le terme général ressemble à a~ ou b~ proviennent souvent de la formule de Parseval.
Ayant obtenu ainsi des sommes de séries numériques, penser à vérifier le signe du résultat et son ordre de grandeur, si possible.
,
+oo l
7r 2
• A partir des sommes de séries remarquables L 2 = - ,
n=I n
6
+oo l
7r 4
L 4 = - , on peut déduire simplement :
n=I n
90
- d 'autres sommes de séries (ex. 7.4.4)
- des intégrales se ramenant, via la relation de Chasles, à des sommes de séries (ex. 7.4.5)
- des intégrales se ramenant, via une permutation série-intégrale, à des sommes de séries (ex. 7.4.6).
• Pour calculer les coefficients de Fourier d'une fonction f de CM r, lorsque ces coefficients ne semblent pas
faciles à calculer par leur définition (ex 7.4.11), on pourra essayer de développerfen utilisant une série géométrique et arriver à exprimer f sous forme de somme de série trigonométrique ; on essaiera ensuite d ' utiliser
l'exercice 7.3.1 : sif est la somme d' une série trigonométrique convergeant uniformément sur IR., alors cette série
trigonométrique est la série de Fourier de f
• La formule des compléments, portant sur la fonction r d'Euler (ex. 7.4.1 2):
Vx E]Ü; l[,
7T
r(x)r(l - x) = - . -
sm n x
sm n x
peut se déduire de la formule de Gauss (ex. 5.1.38) et de la formule exprimant - - - comme« produit infini »
JTX
(ex. 7.4.10 c) {3)).
De la formule des compléments, on peut déduire diverses intégrales faisant intervenir la fonction r d' Euler (ex
7.4.13 à 7.4.15).
Exercices
7.4.1 Soit j : lR ----+ lR .
l ~ [ cosl[
a) Vérifier f E CMrr et calculer les coefficients de Fourier
(trigonométriques) de f.
b) Etudier la convergence de la série de Fourier de f.
c) En déduire les sommes de série suivantes :
+oo
l
2= 4n 2 - 1 '
n= I
+oo
1
,!; (4n 2 - 1) 2 ·
7.4.2
Soitf : lR ----+ JR , br-périodique, impaire, telle
que : 'v't E [0; rr], f (t) = sin 2 t .
a) Vérifi er! E CM2rr et calculer les coefficients de
Fourier (trigonométriques) de f.
b) Etudier la convergence de la série de Fourier de f.
c) En déduire les sommes de série suivantes :
+oo
(-l)n
?; (2n - 1)(2n + 1)(2n + 3)'
+oo
1
?; ((2n - 1)(2n + 1)(2n + 3))2
7.4.3 Soient (a,b) E]O; rr[2 tel que a :,::; b et a + b :,::; rr ,
f : lR ----+ lR 2rr-périodique, continue, paire, telle que :
l
f (t) = { 1 s~ t E [O; b - a]
0 SI t E [a + b; rr]
f est affine sur [b - a; a+ b].
a) Vérifier f E CM2rr et calculer les coefficients de
Fourier (trigonométriques) de f.
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Chapitre 7 • Séries de Fourier
le réel t par une valeur particulière (très simple), et en appliquant la formule de Parseval (pour f à valeurs réelles
par exemple) :
1 1
(a )2 1 +oo
~
(f(t))
2 dt = ~ + - I)a~ + b~).
T [ T ]
2
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Les sommes de séries dont le terme général ressemble à a 11 ou b 11 proviennent souvent du théorème de Dirichlet ;
les sommes de séries dont le terme général ressemble à a~ ou b~ proviennent souvent de la formule de Parseval.
Ayant obtenu ainsi des sommes de séries numériques, penser à vérifier le signe du résultat et son ordre de grandeur, si possible.
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• A partir des sommes de séries remarquables L 2 = - ,
n=I n
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L 4 = - , on peut déduire simplement :
n=I n
90
- d 'autres sommes de séries (ex. 7.4.4)
- des intégrales se ramenant, via la relation de Chasles, à des sommes de séries (ex. 7.4.5)
- des intégrales se ramenant, via une permutation série-intégrale, à des sommes de séries (ex. 7.4.6).
• Pour calculer les coefficients de Fourier d'une fonction f de CM r, lorsque ces coefficients ne semblent pas
faciles à calculer par leur définition (ex 7.4.11), on pourra essayer de développerfen utilisant une série géométrique et arriver à exprimer f sous forme de somme de série trigonométrique ; on essaiera ensuite d ' utiliser
l'exercice 7.3.1 : sif est la somme d' une série trigonométrique convergeant uniformément sur IR., alors cette série
trigonométrique est la série de Fourier de f
• La formule des compléments, portant sur la fonction r d'Euler (ex. 7.4.1 2):
Vx E]Ü; l[,
7T
r(x)r(l - x) = - . -
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peut se déduire de la formule de Gauss (ex. 5.1.38) et de la formule exprimant - - - comme« produit infini »
JTX
(ex. 7.4.10 c) {3)).
De la formule des compléments, on peut déduire diverses intégrales faisant intervenir la fonction r d' Euler (ex
7.4.13 à 7.4.15).
Exercices
7.4.1 Soit j : lR ----+ lR .
l ~ [ cosl[
a) Vérifier f E CMrr et calculer les coefficients de Fourier
(trigonométriques) de f.
b) Etudier la convergence de la série de Fourier de f.
c) En déduire les sommes de série suivantes :
+oo
l
2= 4n 2 - 1 '
n= I
+oo
1
,!; (4n 2 - 1) 2 ·
7.4.2
Soitf : lR ----+ JR , br-périodique, impaire, telle
que : 'v't E [0; rr], f (t) = sin 2 t .
a) Vérifi er! E CM2rr et calculer les coefficients de
Fourier (trigonométriques) de f.
b) Etudier la convergence de la série de Fourier de f.
c) En déduire les sommes de série suivantes :
+oo
(-l)n
?; (2n - 1)(2n + 1)(2n + 3)'
+oo
1
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7.4.3 Soient (a,b) E]O; rr[2 tel que a :,::; b et a + b :,::; rr ,
f : lR ----+ lR 2rr-périodique, continue, paire, telle que :
l
f (t) = { 1 s~ t E [O; b - a]
0 SI t E [a + b; rr]
f est affine sur [b - a; a+ b].
a) Vérifier f E CM2rr et calculer les coefficients de
Fourier (trigonométriques) de f.